Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanmış olan bazı kapalı bölgelerin sözel ifadeleri soldaki sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral gösterimleri ise sağdaki sütunda verilmiştir. Buna göre, sol sütunda verilen her bir bölgeyi sağ sütundaki doğru integral gösterimiyle eşleştiriniz.

  • I. bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=8−x2y = 8 - x^2 parabolü ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx
  • I. bölgede y=x3y = x^3 eğrisi ile y=4xy = 4x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx
  • x=y2x = y^2 parabolü ile y=x−2y = x - 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy
  • y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2y = 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy

Cevap

Sol sütundaki bölgelerin doğru belirli integral gösterimleriyle eşleşmesi şu şekildedir: Birinci bölge integral gösterimlerinin üçüncüsüyle, ikinci bölge birincisiyle, üçüncü bölge ikincisiyle ve dördüncü bölge dördüncüsüyle eşleşir.
Her bir sınırlı bölgenin sınırları ortak çözüm yöntemiyle bulunmuş, üstteki (veya sağdaki) fonksiyondan alttaki (veya soldaki) fonksiyon çıkarılarak elde edilen integrandlar doğru integral sınırları ile eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x2=8−x2  ⟹  2x2=8  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = 2 (I. bölge için x≥0x \ge 0 alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Üstteki eğri y=8−x2y = 8 - x^2, alttaki eğri y=x2y = x^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur.
Eğrilerin kesim noktaları integralin sınırlarını, üstte ve altta kalma durumları ise integrandı belirler.
2
İkinci bölge için kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x3=4x  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x=2x^3 = 4x \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 2 (I. bölge için pozitif kök alınır). Sınırlar 00 ile 22 arasındadır. Bu aralıkta y=4xy = 4x doğrusu y=x3y = x^3 eğrisinin üstünde yer aldığından alan integral ifadesi ∫02(4x−x3) dx\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx olur.
Kesişim noktaları ve fonksiyonların birbirine göre konumları belirlenerek alan integral ifadesi oluşturulur.
3
Üçüncü bölge için y değişkenine göre kesişim noktalarını bulup integral ifadesini yazma
x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y + 2 denklemlerinin ortak çözümünden y2−y−2=0  ⟹  y=−1y^2 - y - 2 = 0 \implies y = -1 ve y=2y = 2 sınırları bulunur. Sağdaki doğru x=y+2x = y + 2, soldaki parabol ise x=y2x = y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olur.
Eğrilerin y eksenine göre konumları analiz edilerek integral değişkeni y olarak seçilmiştir.
4
Dördüncü bölge için y değişkenine göre sınırları belirleyip integral ifadesini yazma
y=x  ⟹  x=y2y = \sqrt{x} \implies x = y^2 parabolü, y ekseni (x=0x=0) ve y=2y=2 doğrusu ile sınırlanan bölgenin y sınırları 00 ile 22 arasındadır. Sağdaki sınır x=y2x=y^2 olduğundan alan integral ifadesi ∫02y2 dy\int_{0}^{2} y^2 \, dy olur.
y ekseni boyunca dilimleme yapılarak alan doğrudan y cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla x veya y değişkenine göre hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru