Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekli��i 12 cm12\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin içerisine, tabanı koninin tabanı ile çakışacak biçimde bir dik dairesel silindir yerleştirilecektir. Buna göre, bu silindirin hacmi en fazla kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olabilir?

Cevap: 64

Cevap

En büyük hacimli silindirin hacmi 64π cm364\pi\text{ cm}^3 olup aranan değer 64'tür.
Koninin içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli silindirin boyutları benzerlik oranı kullanılarak h=12−2rh = 12 - 2r şeklinde yazılır. Hacim fonksiyonunun türevi yardımıyla maksimum hacmi veren yarıçap r=4 cmr = 4\text{ cm} olarak bulunur. Bu değer hacim formülünde yerine yazıldığında maksimum hacim 64π cm364\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yarıçapı rr ve yüksekliği hh değişkenleri arasında benzerlik yardımıyla bir bağıntı kurun.
h=12−2rh = 12 - 2r
Koninin ana doğrusu ve yüksekliği ile silindirin kesiti arasında oluşan benzer üçgenlerden 12−h12=r6\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6} elde edilir.
2
Silindirin hacmini veren fonksiyonu rr değişkenine bağlı olarak yazın.
V(r)=12πr2−2πr3V(r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3
Silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülüyle hesaplanır. Burada h=12−2rh = 12 - 2r ifadesi yerine yazılır.
3
Hacim fonksiyonunun maksimum noktasını bulmak için türevini al��p sıfıra eşitleyin.
r=4r = 4
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır. V′(r)=24πr−6πr2=6πr(4−r)=0V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2 = 6\pi r(4-r) = 0 denkleminin kökleri r=0r=0 ve r=4r=4 olup, maksimum hacim r=4r=4 için gerçekleşir.
4
Maksimum hacmi hesaplayın.
V(4)=64πV(4) = 64\pi
r=4r = 4 için V(4)=π⋅42⋅(12−2⋅4)=64πV(4) = \pi \cdot 4^2 \cdot (12 - 2 \cdot 4) = 64\pi elde edilir. Hacmin π\pi cinsinden değeri sorulduğu için aranan sayı 64'tür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, geometrik şekillerde optimizasyon problemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru