Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan bir yarım çemberin içine, tabanlarından biri çemberin çapı olacak şekilde bir ikizkenar yamuk çiziliyor. Buna göre, alanı en büyük olan bu yamuğun üst taban uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Cevap: 6 / altı / 6 cm / 6cm

Cevap

Alanı en büyük olan ikizkenar yamuğun üst taban uzunluğu 6 cm'dir.
Yamuğun alanı fonksiyon olarak ifade edilip türevi sıfıra eşitlendiğinde en büyük alanı veren x değeri 3 olarak bulunur. Üst taban uzunluğu 2x2x olduğu için cevap 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yamuğun boyutlarını değişkenler cinsinden belirleme
Yarım çemberin yarıçapı R=6 cmR = 6\text{ cm} olduğundan, çapı (ve dolayısıyla yamu��un alt tabanı) AB=12 cmAB = 12\text{ cm}'dir. Yamuğun üst köşelerinden birini koordinat düzleminde çember üzerindeki C(x,y)C(x, y) noktası olarak alırsak, çember denklemi x2+y2=36x^2 + y^2 = 36 olduğundan yükseklik y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} olur. Yamuğun üst taban uzunluğu ise 2x2x olur.
Yamuğun alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek.
2
Alan fonksiyonunu oluşturma
Yamuğun alanı Alan=Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklikAlan = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik} formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda: A(x)=12+2x2⋅36−x2=(6+x)36−x2A(x) = \frac{12 + 2x}{2} \cdot \sqrt{36 - x^2} = (6 + x)\sqrt{36 - x^2} fonksiyonu elde edilir.
Maksimum alan değerini veren x değerini türev yardımıyla bulmak.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleme
A(x)A(x) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyelim. Kolaylık olması açısından fonksiyonun karesi olan f(x)=[A(x)]2=(6+x)2(36−x2)f(x) = [A(x)]^2 = (6+x)^2(36-x^2) fonksiyonunun türevini alabiliriz: f′(x)=2(6+x)(36−x2)+(6+x)2(−2x)=2(6+x)[(36−x2)−x(6+x)]=2(6+x)(36−6x−2x2)=0f'(x) = 2(6+x)(36-x^2) + (6+x)^2(-2x) = 2(6+x)[(36-x^2) - x(6+x)] = 2(6+x)(36 - 6x - 2x^2) = 0. Buradan 2x2+6x−36=0  ⟹  x2+3x−18=0  ⟹  (x+6)(x−3)=02x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + 3x - 18 = 0 \implies (x+6)(x-3) = 0 bulunur. Uzunluk pozitif olacağından x=3x = 3 olmalıdır.
Fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını belirlemek.
4
İstenen üst taban uzunluğunu hesaplama
Maksimum alan için x=3 cmx = 3\text{ cm} olmalıdır. Yamuğun üst taban uzunluğu 2x2x olarak tanımlandığı için üst taban uzunluğu 2⋅3=6 cm2 \cdot 3 = 6\text{ cm} olarak bulunur.
Soruda doğrudan üst taban uzunlu��u sorulduğu için sonucu bu değişkene göre hesaplamak.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Bir yarım çember içine çizilebilecek maksimum alanlı yamuk, çemberin içine çizilen düzgün altıgenin yarısıdır. Düzgün altıgende köşegenler yardımıyla oluşan tüm üçgenler eşkenar üçgen olup kenar uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir. Dolayısıyla en büyük alanlı yamuğun üst taban uzunluğu doğrudan çemberin yarıçapına eşit olup 6 cm'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru