Examkin

Soru

Zorluk: KolayMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin diğer üç kenarı toplam 40 metre40\text{ metre} tel örgüyle çevrilecektir. Buna göre, bu bahçenin alanı en çok kaç metrekare olabilir?

Cevap: 200 m^2

Cevap

Bahçenin alanı en çok 200 metrekare200\text{ metrekare} olabilir.
Bahçenin duvara dik kenarları xx metre olarak seçildiğinde, tel ile çevrilecek diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur. Alan fonksiyonu A(x)=40x−2x2A(x) = 40x - 2x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10 elde edilir. Bu değer fonksiyon yerine konulduğunda alan en fazla A(10)=10⋅(40−20)=200 metrekareA(10) = 10 \cdot (40 - 20) = 200\text{ metrekare} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bahçenin kenar uzunluklarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
Bahçenin duvara dik olan kenarları xx metre ise, diğer kenar 40−2x40 - 2x metre olur.
Toplam tel uzunluğu 40 metre40\text{ metre} olduğundan tel ile çevrilen üç kenarın toplamı 2x+y=402x + y = 40 eşitliğini sağlamalıdır.
2
Alan fonksiyonunu yazın.
A(x)=x⋅(40−2x)=40x−2x2A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının çarpımına eşittir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
A′(x)=40−4x=0⇒x=10A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplayın.
A(10)=10⋅20=200A(10) = 10 \cdot 20 = 200
x=10x = 10 değeri için alan fonksiyonu en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Alan fonksiyonu A(x)=−2x2+40xA(x) = -2x^2 + 40x ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Parabollerin en büyük veya en küçük değeri tepe noktasında (r=−b/(2a)r = -b/(2a)) oluşur. Burada r=−40/(2⋅(−2))=10r = -40 / (2 \cdot (-2)) = 10 olur. Maksimum alan ise A(10)=−2(10)2+40(10)=200 m2A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = 200\text{ m}^2 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru