Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    23\frac{2}{3}
  2. B
    203\frac{20}{3}
  3. 43\frac{4}{3}Cevap
  4. D
    163\frac{16}{3}
  5. E
    22

Cevap

Sın��rlı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunan y=2xy = 2x doğrusu ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan alan, üstte yer alan doğrudan alttaki parabolün çıkarılmasıyla oluşturulan ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx belirli integrali ile hesaplanır ve bu integralin değeri 43\frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru ile parabolün kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleriz.
x2=2x  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği noktaları bulmamız gerekir.
2
Belirlenen sınırlar arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurarız.
[0,2][0, 2] aralığında y=2xy = 2x doğrusu y=x2y = x^2 parabolünün üstünde yer aldığından, alan A=∫02(2x−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile ifade edilir.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
A=[x2−x33]02=(22−233)−0=4−83=43A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} birimkare bulunur.
İntegral alma kuralları ve belirli integral tanımı uygulanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru