Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Yandaki dik koordinat düzleminde y=9−x2y = 9 - x^2 ve y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolleri ile bu parabollerin sınırladığı boyalı bölge gösterilmi��tir.

Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 1253\frac{125}{3}Cevap
  2. B
    1123\frac{112}{3}
  3. C
    443\frac{44}{3}
  4. D
    323\frac{32}{3}
  5. E
    3636

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 1253\frac{125}{3} birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak belirlendikten sonra, [−2,3][-2, 3] aralığında üstte yer alan y=9−x2y = 9 - x^2 parabolünden altta yer alan y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolü çıkarılarak oluşturulan belirli integralin değeri 1253\frac{125}{3} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
9−x2=x2−2x−3⇒2x2−2x−12=0⇒x2−x−6=0⇒(x−3)(x+2)=09 - x^2 = x^2 - 2x - 3 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) = 0. Buradan kesişim noktaları x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
Kesişim sınırları arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurun.
Boyalı bölgede y=9−x2y = 9 - x^2 parabolü üstte, y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolü ise alttadır. Dolayısıyla alan integrali: A=∫−23((9−x2)−(x2−2x−3))dx=∫−23(−2x2+2x+12)dxA = \int_{-2}^{3} \left( (9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3) \right) dx = \int_{-2}^{3} (-2x^2 + 2x + 12) dx şeklinde kurulur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemimi çıkararak hesaplanır.
3
Elde edilen integralin ters türevini (antiderivatif) bulun.
∫(−2x2+2x+12)dx=−23x3+x2+12x\int (-2x^2 + 2x + 12) dx = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x
Belirli integrali hesaplamak için temel integral alma kuralları uygulanır.
4
Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin değerini hesaplayın.
F(3)=−23(3)3+32+12(3)=−18+9+36=27F(3) = -\frac{2}{3}(3)^3 + 3^2 + 12(3) = -18 + 9 + 36 = 27

F(−2)=−23(−2)3+(−2)2+12(−2)=163+4−24=−443F(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) = \frac{16}{3} + 4 - 24 = -\frac{44}{3}

A=F(3)−F(−2)=27−(−443)=27+443=1253A = F(3) - F(-2) = 27 - \left( -\frac{44}{3} \right) = 27 + \frac{44}{3} = \frac{125}{3} birimkare.
İntegral sınırları yerine yazılarak net alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru