Bir teknoloji firması ürettiği x adet akıllı cihaz için toplam maliyet fonksiyonunu (bin T… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir teknoloji firması ürettiği

x

adet akıllı cihaz için toplam maliyet fonksiyonunu (bin TL cinsinden)

C(x) = x^3 - 5x^2 + 12x + 10

ve bu cihazların adet başına satış fiyatını (bin TL cinsinden)

P(x) = 36 - 2x

olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu firmanın elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

Maksimum kâr 70 bin TL'dir.

Toplam kâr fonksiyonu

K(x) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10

olarak elde edilir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır:

K'(x) = -3x^2 + 6x + 24

. Türevin kökleri incelendiğinde

x = 4

(pozitif ürün miktarı) maksimum noktasıdır.

x = 4

değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 70 bin TL olarak hesaplanır.

Kâr fonksiyonunu (

K(x)

) oluşturmak için toplam gelir fonksiyonundan (

R(x)

) toplam maliyet fonksiyonu (

C(x)

) çıkarılır.

R(x) = x \cdot P(x) = x(36 - 2x) = 36x - 2x^2

bin TL.

K(x) = R(x) - C(x) = (36x - 2x^2) - (x^3 - 5x^2 + 12x + 10) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10

olur.

Kâr, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla hesaplanır.

Kâr fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur.

K'(x) = -3x^2 + 6x + 24 = 0

denkleminden

-3(x^2 - 2x - 8) = 0

ve buradan

-3(x-4)(x+2) = 0

elde edilir.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.

Fiziksel kısıtlar göz önüne alınarak uygun kritik nokta belirlenir ve maksimum kâr hesaplanır.

Ürün miktarı

x \ge 0

olmalıdır, bu nedenle

x = 4

kritik noktası seçilir. Maksimum kâr:

K(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 24(4) - 10 = -64 + 48 + 96 - 10 = 70

bin TL olarak bulunur.

Birinci türevin işaret tablosunda

x = 4

noktasında türev artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.

Maksimum ve Minimum Problemleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru