Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir afiş tasarımında, afişin ortasındaki dikdörtgen biçimindeki baskı alanının 50 cm250 \text{ cm}^2 olması planlanmaktadır. Afişin üst ve alt kısmında dörder cm\text{cm}, sağ ve sol yanlarında ise ikişer cm\text{cm} boşluk bırakılacaktır. Baskı alanı da dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu afişin toplam alanının en küçük değeri kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevap: 162 cm^2

Cevap

Afişin toplam alanının alabileceği en küçük değer 162 cm2162 \text{ cm}^2 dir.
Baskı alanının boyutları xx ve yy olup çarpımları 50'dir. Kenar boşlukları eklendiğinde afişin boyutları x+4x+4 ve y+8y+8 olur. Toplam alan fonksiyonu A(x)=8x+200x+82A(x) = 8x + \frac{200}{x} + 82 şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=5x = 5 elde edilir. x=5x = 5 değeri fonksiyona yazıldığında en küçük alan 162 cm2162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baskı alanının kenar uzunluklarını değişkenler cinsinden ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi yazma
Baskı alanı dikdörtgen şeklinde olup kenarları xx ve yy ise, x⋅y=50  ⟹  y=50xx \cdot y = 50 \implies y = \frac{50}{x} olur.
Toplam alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekir.
2
Afişin toplam boyutlarını belirleme ve toplam alan fonksiyonunu oluşturma
Genişlik x+4x + 4, yükseklik y+8y + 8 olup toplam alan A(x)=(x+4)(50x+8)=8x+200x+82A(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 8x + \frac{200}{x} + 82 olarak elde edilir.
Tasarım gereği kenarlarda bırakılan boşlukları baskı alanının boyutlarına ekleyerek afişin toplam alan formülünü oluşturmalıyız.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktayı bulma
A′(x)=8−200x2=0  ⟹  x2=25  ⟹  x=5A'(x) = 8 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türevinin köklerini (kritik noktaları) incelememiz gerekir.
4
Bulunan kritik değer için minimum alanı hesaplama
A(5)=8(5)+2005+82=162 cm2A(5) = 8(5) + \frac{200}{5} + 82 = 162 \text{ cm}^2 elde edilir.
Elde edilen kritik nokta olan x=5x = 5 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak minimum alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak da çözülebilir. 8x>08x > 0 ve 200x>0\frac{200}{x} > 0 olduğundan, 8x+200x≥28x⋅200x=21600=808x + \frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 olur. Buradan toplam alan en az 80+82=162 cm280 + 82 = 162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru