Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 ve y=2−x2y = 2 - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölge, y=ax2y = ax^2 (a>1a > 1) parabolü ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    5
  3. 7Cevap
  4. D
    9
  5. E
    11

Cevap

Doğru yanıt 7 değeridir.
Toplam alan 8/3 birimkare olarak bulunduktan sonra, iki bölgenin kesim noktası olan x=1/2x = 1/2 değeri kullanılarak alt bölgenin alanı toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitlenir. Buradan parabolün katsayısı olan değer 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırlı bölgenin toplam alanını hesaplamak için iki parabolün kesim noktalarını buluruz.
x2=2−x2x^2 = 2 - x^2 denkleminden 2x2=22x^2 = 2 ve x=1x = 1 ile x=−1x = -1 sınır noktaları elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için sınır eğrilerinin kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Bu iki sınır arasında kalan toplam alanı belirli integral ile hesaplarız.
Toplam Alan (SS) = ∫−11((2−x2)−x2)dx=∫−11(2−2x2)dx=[2x−2x33]−11=83\int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = [2x - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{8}{3} birimkare.
Bölgeyi ikiye bölen parabolün yapacağı alan paylaşımını bulabilmek için önce toplam alanın bilinmesi gerekir.
3
y = ax^2 parabolü ile y = 2 - x^2 parabolünün kesişim noktasın��n apsisini (x0x_0) buluruz.
ax02=2−x02ax_0^2 = 2 - x_0^2 denkleminden x0=2a+1x_0 = \sqrt{\frac{2}{a+1}} elde edilir.
Yeni parabolün bölgeyi hangi apsis değerinde kestiğini bularak integral sınırlarını güncellememiz gerekir.
4
Bölgenin simetrik yapısını kullanarak x=0x = 0 ile x=1x = 1 arasındaki alt bölgenin alanını toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitleriz.
∫0x0(ax2−x2)dx+∫x01(2−2x2)dx=43\int_{0}^{x_0} (ax^2 - x^2) dx + \int_{x_0}^{1} (2 - 2x^2) dx = \frac{4}{3} denklemini kurarız.
y = ax^2 parabolü y = 2 - x^2 eğrisini x0x_0 noktasında kestiği için, bu noktadan sonra üst sınır y = 2 - x^2 eğrisi olur. Bu nedenle integral iki parça halinde yazılmalıdır.
5
İntegralleri hesaplayıp x0x_0 cinsinden ifade ederiz.
[(a−1)x33]0x0+[2x−2x33]x01=43⇒(a−1)x033+43−(2x0−2x033)=43⇒(a+1)x033−2x0+43=43[\frac{(a-1)x^3}{3}]_{0}^{x_0} + [2x - \frac{2x^3}{3}]_{x_0}^{1} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a-1)x_0^3}{3} + \frac{4}{3} - (2x_0 - \frac{2x_0^3}{3}) = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a+1)x_0^3}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} elde edilir.
Alanı belirleyen cebirsel ifadeyi basitleştirmek.
6
x02=2a+1x_0^2 = \frac{2}{a+1} ilişkisini kullanarak denklemdeki aa değişkenini eleriz.
(a+1)x03=(a+1)x02⋅x0=2x0(a+1)x_0^3 = (a+1)x_0^2 \cdot x_0 = 2x_0 olur. Buradan 2x03−2x0+43=43⇒−4x03+43=43⇒x0=12\frac{2x_0}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow -\frac{4x_0}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2} bulunur.
x0x_0 değerini doğrudan bulmak için aa ve x0x_0 arasındaki ilişkiyi yerine yazarız.
7
Bulduğumuz x0=1/2x_0 = 1/2 değerini kesişim denkleminde yerine yazıp aa değerini hesaplarız.
12=2a+1⇒14=2a+1⇒a+1=8⇒a=7\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{a+1}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{2}{a+1} \Rightarrow a+1 = 8 \Rightarrow a = 7 elde edilir.
İstenen bilinmeyen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru