Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Koordinat düzleminde x=2−y2x = 2 - y^2 eğrisi ile x+y=0x + y = 0 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 4.5 birimkare

Cevap

Eğriler arasında kalan kapalı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun y eksenine göre kesim noktaları y = -1 ve y = 2 olarak hesaplanır. Bu sınırlar arasında sağda kalan parabol denkleminden solda kalan doğru denklemi çıkarılıp integral alındığında alan 4,5 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını (integrasyon sınırlar��nı) belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
y2−y−2=0  ⟹  y=2y^2 - y - 2 = 0 \implies y = 2 ve y=−1y = -1 bulunur.
Bölgenin y ekseni boyunca sınırlarını bulmak için kesim noktalarının y koordinatlarına ihtiyacımız vardır.
2
Sağdaki eğriden soldaki eğriyi çıkararak alanı veren belirli integrali kurarız.
A=∫−12((2−y2)−(−y))dy=∫−12(2−y2+y)dyA = \int_{-1}^{2} \left( (2 - y^2) - (-y) \right) dy = \int_{-1}^{2} (2 - y^2 + y) dy elde edilir.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları arasında sağda kalan fonksiyondan solda kalan fonksiyon çıkarılır.
3
İntegrali hesaplar ve sınırları yerine koyarak alanı buluruz.
A=[2y−y33+y22]−12=103−(−76)=276=4,5A = \left[ 2y - \frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 birimkare.
Belirli integralin değerini hesaplayarak sınırlı bölgenin alanın�� bulmuş oluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y eksenine göre integral alınarak hesaplanması

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile doğrunun kesim noktalarının y koordinatları y_1 ve y_2 ise, aralarında kalan alan pratik olarak A = (1/6) * |a| * (y_2 - y_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Burada a, parabolün y^2 teriminin katsayısıdır. Kökler farkı y_2 - y_1 = 2 - (-1) = 3 ve |a| = 1 olduğundan, Alan = (1/6) * 1 * 3^3 = 27/6 = 4,5 birimkare olarak saniyeler içinde bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru