Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıdaki sol sütunda dik koordinat düzleminde sınırları belirtilen kapalı bölgelerin alanları, sağ sütunda ise bu alanları hesaplamak için kullanılabilecek belirli integral ifadeleri verilmiştir. Sol sütundaki her bir alanı sağ sütundaki uygun integral ifadesiyle eşleştiriniz.

  • Dik koordinat düzleminde y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy
  • Dik koordinat düzleminde y=x2y = x^2 parabolü, y=2xy = 2x doğrusu ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫03/4(2x−x2) dx+∫3/41(3−2x−x2) dx\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx
  • Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x3−xy = x^3 - x eğrisi, y=3xy = 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫013x dx+∫12(4x−x3) dx\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx
  • Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=x2y = x^2 parabolü, y=6−xy = 6 - x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı∫02x2 dx+∫26(6−x) dx\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx

Cevap

Her iki sütundaki sınır tanımları ve integral alma yönleri eşleştirilerek; birinci alan birinci integral ifadesiyle, ikinci alan ikinci integral ifadesiyle, üçüncü alan üçüncü integral ifadesiyle ve dördüncü alan dördüncü integral ifadesiyle eşleşmektedir.
Verilen her kapalı bölgenin sınırları geometrik olarak incelendiğinde ve kesişim noktaları cebirsel olarak çözüldüğünde; integral sınırlarının ve integrali alınan fonksiyonların farklarının eşleşen integral ifadeleri ile tam olarak örtüştüğü görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölgenin sınırlarını belirlemek ve kesişim noktalarını hesaplamak.
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 eğrilerinin kesişim noktası x=4x = 4 (y=2y = 2) olarak bulunur. yy-ekseni ile olan sınırlar göz önüne alındığında, bölge yy-eksenine göre integre edilerek ∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy\int_{-2}^{0} (y + 2) \, dy + \int_{0}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak ifade edilir.
Bölgeyi xx-eksenine göre integre etmek yerine yy-eksenine göre integre etmek iki ayrı fonksiyonun sınırlarını daha kolay tanımlamayı sağlar.
2
İkinci bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=2xy = 2x ve y=3−2xy = 3 - 2x doğrularının kesişim noktası x=3/4x = 3/4 olarak bulunur. Parabol ile bu doğruların kesişimleri ise [0,1][0, 1] aralığındadır. Bölge [0,3/4][0, 3/4] ve [3/4,1][3/4, 1] aralıklarında ikiye bölünerek ∫03/4(2x−x2) dx+∫3/41(3−2x−x2) dx\int_{0}^{3/4} (2x - x^2) \, dx + \int_{3/4}^{1} (3 - 2x - x^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
Kesişim noktasında üstteki fonksiyon değiştiği için integralin sınırlarını iki parçaya ayırmak gerekir.
3
Üçüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x3−xy = x^3 - x eğrisi ile y=3xy = 3x doğrusunun kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=2x = 2 (pozitif tarafta) olarak bulunur. Birinci bölgede xx-ekseni de sınır olduğundan [0,1][0, 1] aralığında y=3xy = 3x ile y=0y=0 arası, [1,2][1, 2] aralığında ise y=3xy=3x ile y=x3−xy=x^3-x arası taranır. Bu durum ∫013x dx+∫12(4x−x3) dx\int_{0}^{1} 3x \, dx + \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx toplamı ile gösterilir.
Eğrinin negatif değer aldığı aralıkta alanın birinci bölgede kalması için alt sınır olarak xx-ekseni (y=0y=0) kullanılmalıdır.
4
Dördüncü bölgenin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirlemek.
y=x2y = x^2 parabolü ile y=6−xy = 6 - x doğrusunun kesişim noktası x=2x = 2 olarak bulunur. Doğrunun xx-eksenini kestiği nokta ise x=6x = 6'dır. [0,2][0, 2] aralığında üst sınır y=x2y = x^2, [2,6][2, 6] aralığında ise üst sınır y=6−xy = 6-x olup alan ∫02x2 dx+∫26(6−x) dx\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx integraline karşılık gelir.
Alan xx-eksenine göre iki ayrı geometrik/eğrisel bölgenin toplamı olarak yazılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru