Tepe noktası y ekseni üzerinde olan y = 5 - x^2 parabolü ile y = 1 doğrusunun sınırlandırd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tepe noktası $y$ ekseni üzerinde olan $y = 5 - x^2$ parabolü ile $y = 1$ doğrusunun sınırlandırdığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı

\frac{32}{3}

birimkaredir.

Doğru cevap olan

\frac{32}{3}

değeri,

y = 5 - x^2

parabolünün

y = 1

doğrusunun üzerinde kalan kısmının

[-2, 2]

aralığındaki integral farkı hesaplanarak elde edilir.

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.

5 - x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = -2

x = 2

bulunur.

Eğriler arasında kalan bölgenin sınırlarını belirleyecek olan integral limitlerini bulmak amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.

[-2, 2]

aralığında üstte kalan eğriden altta kalan doğruyu çıkararak alan integralini kurun.

A = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx

elde edilir.

İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen farkın belirli integralidir.

İntegrali simetriden yararlanarak veya doğrudan hesaplayın.

A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}

birimkare bulunur.

Belirli integralin değerini sınırları yerine koyarak hesaplayıp sınırlandırılmış bölgenin alanını buluruz.

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama.

Soru