Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değer… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Aşağıda verilen sınırlı bölge tanımlarını, bu bölgelerin alanlarını ifade eden doğru değerlerle eşleştiriniz.

$y = x^2$ parabolü ile $y = x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\frac{1}{6}$ birimkare
$y = x^3$ eğrisi ile $y = x$ doğrusu arasında birinci bölgede ( $x \geq 0$ ) kalan sınırlı bölgenin alanı $\frac{1}{4}$ birimkare
$y = x^2$ parabolü ile $y = 2x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\frac{4}{3}$ birimkare

Cevap

Birinci bölge tanımı 1/6 birimkare ile, ikinci bölge tanımı 1/4 birimkare ile, üçüncü bölge tanımı ise 4/3 birimkare ile eşleşir.

Verilen her üç bölgenin alan hesabı, eğrilerin kesişim noktaları sınır kabul edilerek yapılan integral hesaplamalarıyla tam olarak eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

Birinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.

y = x^2

y = x

eğrileri için

x^2 = x \implies x(x-1) = 0

denklemi kurulur. Kesişim sınırları

x = 0

x = 1

olarak belirlenir. Belirli integral

\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

birimkaredir.

İki eğrinin kesişim noktaları integralin sınırlarını tanımlar; üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak alan bulunur.

İkinci bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.

y = x^3

y = x

eğrileri için

x^3 = x \implies x(x-1)(x+1) = 0

denklemi kurulur. Birinci bölgede (

x \geq 0

) kesişim sınırları

x = 0

x = 1

olur. Belirli integral

\int_0^1 (x - x^3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

birimkaredir.

Pozitif bölgedeki alan sınırları belirlendikten sonra integrasyon kuralları uygulanarak alan değeri hesaplanır.

Üçüncü bölgenin kesişim sınırlarını bulma ve alan integralini hesaplama.

y = x^2

y = 2x

eğrileri için

x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0

denklemi kurulur. Kesişim sınırları

x = 0

x = 2

olur. Belirli integral

\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

birimkaredir.

Doğru ve parabol sınırları belirlendikten sonra integral alma kuralları kullanılarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları sınır olmak üzere, üstteki fonksiyonun grafiğinden alttaki fonksiyonun grafiğinin farkının belirli integrali alınarak bulunur.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru