Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(0,174)A\left(0, \frac{17}{4}\right) noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

  1. 2Cevap
  2. B
    4
  3. C
    154\frac{15}{4}
  4. D
    152\frac{\sqrt{15}}{2}
  5. E
    174\frac{17}{4}

Cevap

En kısa uzaklık 2 birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir noktanın A noktasına uzaklık fonksiyonunun karesi olan d2=x4−152x2+28916d^2 = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16} ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde en yakın noktanın apsisinin karesi x2=154x^2 = \frac{15}{4} bulunur. Bu değer uzaklık bağıntısında yerine yazıldığında uzaklığın karesinin minimum değeri 4, uzaklığın kendisi ise 2 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir P noktasının koordinatlarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğu için parabol üzerindeki herhangi bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
İki nokta arasındaki uzaklık form��lünü tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürmek için.
2
P(x,x2)P(x, x^2) ile A(0,174)A\left(0, \frac{17}{4}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini (d2d^2) veren fonksiyonu oluşturun.
d2=(x−0)2+(x2−174)2=x2+x4−172x2+28916=x4−152x2+28916d^2 = (x - 0)^2 + \left(x^2 - \frac{17}{4}\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{17}{2}x^2 + \frac{289}{16} = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}
Uzaklığı minimize etmek için önce uzaklığın karesini veren fonksiyonu türevlenebilir hale getirmek gerekir.
3
x2=yx^2 = y dönüşümü uygulayarak fonksiyonu basitleştirin ve türevini alarak kritik noktayı bulun.
g(y)=y2−152y+28916g(y) = y^2 - \frac{15}{2}y + \frac{289}{16} (y≥0y \ge 0) elde edilir. Türevi: g′(y)=2y−152g'(y) = 2y - \frac{15}{2}. Türevi sıfıra eşitlediğimizde y=154y = \frac{15}{4} bulunur.
Türevi sıfır yapan nokta, fonksiyonun yerel minimum noktasını verir.
4
Bulunan y=154y = \frac{15}{4} değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük d2d^2 değerini ve ardından karekökünü alarak en kısa uzaklığı bulun.
d2=g(154)=(154)2−152(154)+28916=225−450+28916=6416=4d^2 = g\left(\frac{15}{4}\right) = \left(\frac{15}{4}\right)^2 - \frac{15}{2}\left(\frac{15}{4}\right) + \frac{289}{16} = \frac{225 - 450 + 289}{16} = \frac{64}{16} = 4. Buradan d=4=2d = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Uzaklığın karesinin minimum değeri 4 olduğuna göre, en kısa uzaklığın kendisi 2 birimdir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir noktanın bir eğriye olan en kısa uzaklığını hesaplama
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru