Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bir matematik öğretmeni, tahtaya y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolünü ve y=xy = x doğrusunu çizmiştir. Daha sonra öğrencilerden bu iki eğri tarafından tamamen sınırlandırılan kapalı bölgenin alanını hesaplamalarını istemiştir.

Buna göre, öğrencilerin bulması gereken doğru sonuç kaç birimkaredir?

  1. A
    2756\frac{275}{6}
  2. B
    632\frac{63}{2}
  3. 1256\frac{125}{6}Cevap
  4. D
    176\frac{17}{6}
  5. E
    1003\frac{100}{3}

Cevap

Doğru yanıt 1256\frac{125}{6} birimkaredir.
Doğru cevap olan 1256\frac{125}{6} değeri, parabol ile doğrunun kesişim noktalarının x=0x = 0 ve x=5x = 5 olarak doğru bulunması, [0,5][0, 5] aralığında parabolün üstte olduğunun belirlenmesi ve ∫05(5x−x2) dx\int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx integralinin doğru hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının belirlenmesi
x2−5x=0  ⟹  x(x−5)=0  ⟹  x=0x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5) = 0 \implies x = 0 ve x=5x = 5
Sınırlandırılan bölgenin integral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Üstteki ve alttaki eğrilerin belirlenmesi
6x−x2≥x6x - x^2 \geq x
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken [0,5][0, 5] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu anlamak için bir test noktası seçilir. x=1x = 1 için parabolün değeri doğrunun değerinden büyük olduğundan parabol üstte yer alır.
3
Belirli integralin kurulması ve alan hesabı
A=∫05((6x−x2)−x) dx=[5x22−x33]05=1256A = \int_{0}^{5} ((6x - x^2) - x) \, dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{125}{6}
Belirli integralin değeri, iki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanını verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru