Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=12−2xy = \sqrt{12 - 2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası; orijin O(0,0)O(0,0) ve pozitif xx-ekseni üzerindeki bir B(b,0)B(b, 0) noktası ile birleştirilerek tepe açısı PP olan bir OPBOPB dik üçgeni oluşturuluyor.

Pozitif aa ve bb tam sayıları için [OB][OB] hipotenüsünün uzunluğunun alabileceği en küçük değer a3−ba\sqrt{3} - b birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 6 / altı

Cevap

En küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim olup buradan a=4a = 4 ve b=2b = 2 bulunur. Dolayısıyla a+b=6a + b = 6'dır.
Dik üçgenin diklik şartından yola çıkarak hipotenüs uzunluğunu veren b(x)=x−2+12xb(x) = x - 2 + \frac{12}{x} fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde minimumu veren değer x=23x = 2\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer fonksiyona yazıldığında en küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim elde edilir. Buradan katsayılar a=4a = 4 ve b=2b = 2 olarak bulunup toplamları 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin köşe koordinatlarını belirleyip diklik şartını yazmak.
Orijin O(0,0)O(0,0), P(x,y)P(x, y) ve B(b,0)B(b,0) noktaları için OP⊥PBOP \perp PB olmalıd��r. Buradan eğimler çarpımı mOP⋅mPB=−1  ⟹  yx⋅−yb−x=−1  ⟹  y2=x(b−x)m_{OP} \cdot m_{PB} = -1 \implies \frac{y}{x} \cdot \frac{-y}{b-x} = -1 \implies y^2 = x(b-x) elde edilir.
OPBOPB üçgeninin tepe açısı PP olan bir dik üçgen olduğu belirtilmiştir.
2
Hipotenüs uzunluğu olan bb değişkenini xx cinsinden ifade etmek.
b−x=y2x  ⟹  b(x)=x+y2xb - x = \frac{y^2}{x} \implies b(x) = x + \frac{y^2}{x} bulunur. P(x,y)P(x,y) noktası y=12−2xy = \sqrt{12-2x} eğrisi üzerinde olduğundan y2=12−2xy^2 = 12-2x eşitliği yerine yazılır: b(x)=x+12−2xx=x−2+12xb(x) = x + \frac{12-2x}{x} = x - 2 + \frac{12}{x} elde edilir.
Elde edilen geometrik bağıntıyı tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon haline getirmek gerekir.
3
Türev yardımıyla fonksiyonu minimize etmek.
b′(x)=1−12x2b'(x) = 1 - \frac{12}{x^2} olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 1−12x2=0  ⟹  x2=12  ⟹  x=231 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = 2\sqrt{3} (birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 alınır) kritik noktası elde edilir. Bu nokta yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevinin işaret değiştirdiği kritik noktalar incelenir.
4
En küçük hipotenüs uzunluğunu hesaplamak ve istenen toplamı bulmak.
x=23x = 2\sqrt{3} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük uzunluk b(23)=23−2+1223=43−2b(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2 + \frac{12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 2 birim olarak bulunur. a3−ba\sqrt{3} - b biçimiyle karşılaştırıldığında a=4a = 4 ve b=2b = 2 olup a+b=6a + b = 6 elde edilir.
Kritik değer fonksiyona yazılarak minimum uzunluk hesaplanır ve soru kökündeki katsayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması, geometrik optimizasyon.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru