Dik koordinat düzleminde, y = 3x^2 parabolü ile y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $y = 3x^2$ parabolü ile $y = 3$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 4 birimkare

Sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.

Verilen parabol ile doğrunun kesişim noktaları

x = -1

x = 1

olarak bulunur.

[-1, 1]

aralığında doğru (

y = 3

) parabolün (

y = 3x^2

) üstünde kaldığından, aradaki alan

\int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx

integrali ile hesaplanır. Bu integralin değeri

4

birimkaredir.

y = 3x^2

parabolü ile

y = 3

doğrusunun kesişim noktalarını bulun.

3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1

x = 1

Kesişim noktaları integralin alt ve üst sınırlarını belirler.

Üstteki eğri olan

y = 3

doğrusundan alttaki eğri olan

y = 3x^2

parabolünü çıkararak alanı veren integral ifadesini yazın.

Alan = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx

İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır.

İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine yazın.

Alan = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1} = (3(1) - 1^3) - (3(-1) - (-1)^3) = 2 - (-2) = 4

Belirli integralin değerini hesaplayarak alanı bulmak için.

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Soru