Examkin

Soru

Zorluk: KolayMaksimum ve Minimum Problemleri

Analitik düzlemde birinci bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç birimkaredir?

  1. A
    3
  2. B
    6
  3. C
    12
  4. 18Cevap
  5. E
    36

Cevap

Maksimum alan değeri 18 birimkaredir.
Alan fonksiyonu A(x)=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak kurulur. Bu fonksiyonun türevi olan A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x ifadesini sıfıra eşitleyen x=3x = 3 değeri için alan en büyük değerini alır. Maksimum alan A(3)=3(12−2(3))=18A(3) = 3(12 - 2(3)) = 18 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin köşelerinin koordinatlarını ve alan fonksiyonunu belirleyin.
Dikdörtgenin bir köşesi y=12−2xy = 12 - 2x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları (x,12−2x)(x, 12 - 2x) olur. Alan fonksiyonu A(x)=x⋅y=x(12−2x)=12x−2x2A(x) = x \cdot y = x(12 - 2x) = 12x - 2x^2 olarak elde edilir.
Maksimum/minimum problemlerinde en büyük olması istenen niceliği tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek gerekir.
2
Alan fonksiyonunun birinci türevini alarak kritik noktayı bulun.
A′(x)=12−4xA'(x) = 12 - 4x türev fonksiyonu elde edilir. 12−4x=012 - 4x = 0 denkleminden kritik nokta x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) noktalarında türevi sıfırdır.
3
Bulunan kritik değeri alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(3)=3⋅(12−2(3))=3⋅6=18A(3) = 3 \cdot (12 - 2(3)) = 3 \cdot 6 = 18 birimkare bulunur.
Maksimum alan değerini bulmak için, bu alanı veren xx değeri orijinal alan fonksiyonunda yerine yazılmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru