Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün tepe noktası TT ve bu parabolün yy-eksenini kestiği nokta AA olarak belirleniyor.

Buna göre, AA ve TT noktalarından geçen doğru ile f(x)f(x) parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    23\frac{2}{3}
  2. 43\frac{4}{3}Cevap
  3. C
    83\frac{8}{3}
  4. D
    2
  5. E
    323\frac{32}{3}

Cevap

43\frac{4}{3} birimkare olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap 43\frac{4}{3} birimkaredir. Parabolün tepe noktası formülüyle T(2,−1)T(2, -1) ve yy-eksenini kestiği nokta A(0,3)A(0, 3) bulunur. Bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 olur. Doğru ile parabol x2−4x+3=−2x+3x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 ortak çözümüyle x=0x = 0 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişir. [0,2][0, 2] aralığında doğru parabolün üst kısmında kaldığı için alan integralimiz ∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=43\int_{0}^{2} [(-2x+3) - (x^2-4x+3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2+2x) \, dx = \frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını (TT) ve yy-eksenini kestiği noktayı (AA) bulalım.
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolü için tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 ve ordinatı k=f(2)=22−4(2)+3=−1k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 bulunur. Buradan T(2,−1)T(2, -1) elde edilir. yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazıldığında f(0)=3f(0) = 3 olup A(0,3)A(0, 3) noktası elde edilir.
Parabolün üzerindeki bu iki özel noktayı belirleyerek aralarından geçecek olan doğrunun denklemini yazmak için koordinatlara ihtiyaç duyarız.
2
A(0,3)A(0, 3) ve T(2,−1)T(2, -1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Doğrunun eğimi m=−1−32−0=−2m = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = -2 olarak bulunur. yy-eksenini kestiği nokta 33 olduğundan, doğru denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 şeklinde elde edilir.
Sınırlı bölgeyi üstten sınırlayan fonksiyonu analitik olarak tanımlamak için doğrunun denklemine ihtiyaç duyarız.
3
Doğru ile parabolün kesişim noktalarını (integral sınırlarını) ortak çözümle bulalım.
x2−4x+3=−2x+3  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesişim noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Alan hesabında kullanacağımız belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla ortak noktaları hesaplarız.
4
Belirli integrali kurarak sınırlı bölgenin alanını hesaplayalım.
[0,2][0, 2] aralığında y=−2x+3y = -2x + 3 doğrusu, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün üstünde yer alır. Alan S=∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=[−x33+x2]02=(−83+4)−0=43S = \int_{0}^{2} [(-2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{4}{3} birimkare olarak hesaplanır.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun sınırlar arasındaki belirli integraline eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının, kesişim noktaları yardımıyla belirli integral kullanılarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile onu iki farklı noktada kesen bir doğrunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı; kesim noktalarının apsisleri x1x_1 ve x2x_2 (x2>x1x_2 > x_1), parabolün başkatsayısı aa olmak üzere pratik olarak S=∣a∣6(x2−x1)3S = \frac{|a|}{6}(x_2 - x_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Bu soruda parabolün başkatsayısı a=1a = 1, kesim noktaları ise x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olduğundan alan S=∣1∣6(2−0)3=86=43S = \frac{|1|}{6}(2 - 0)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} birimkare olarak saniyeler içinde elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru