Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMaksimum ve Minimum Problemleri

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu dikdörtgenin parabol üzerindeki köşesinden parabole çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle birinci bölgede oluşturduğu dik üçgenin alanı en küçük değerini aldığında, bu dikdörtgenin alanı kaç birimkare olur?

Cevap: 16 birimkare

Cevap

Teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan��nı minimum yapan a=2a = 2 değeri için çizilen dikdörtgenin alanı 16 birimkaredir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenin alan fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde a=2a=2 değeri elde edilir. Bu değer dikdörtgenin alan formülünde yerine yazıldığında alan 16 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki köşenin koordinatlarını belirleme
Birinci bölgedeki köşe P(a,12−a2)P(a, 12 - a^2) olur (0<a<120 < a < \sqrt{12}).
Dikdörtgenin bir köşesi parabolün üzerindedir ve alanı bu değişken cinsinden ifade edeceğiz.
2
Parabole PP noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulma
Teğet denklemi: y=−2ax+a2+12y = -2ax + a^2 + 12
Türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini (m=−2am = -2a) ve geçtiği noktayı kullanarak denklemi oluştururuz.
3
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulma
yy-eksenini kestiği nokta: a2+12a^2 + 12, xx-eksenini kestiği nokta: a2+122a\frac{a^2 + 12}{2a}
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Dik üçgenin alan fonksiyonunu yazma
A(a)=(a2+12)24aA(a) = \frac{(a^2 + 12)^2}{4a}
Üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
5
Alan fonksiyonunun minimum noktasını bulma
a=2a = 2
Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek yerel minimum noktasını buluruz. Bölümün türevi kuralı uygulandığında A′(a)=(a2+12)(3a2−12)4a2=0  ⟹  a=2A'(a) = \frac{(a^2+12)(3a^2-12)}{4a^2} = 0 \implies a = 2 elde edilir.
6
Dikdörtgenin alanını hesaplama
Alan = 16 birimkare
Bulunan a=2a = 2 değerini dikdörtgenin alan formülünde (a⋅(12−a2)a \cdot (12 - a^2)) yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ile maksimum ve minimum problemleri uygulaması
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru