Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    2
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. 8Cevap
  5. E
    16

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru cevap, iki eğrinin kesişim noktaları olan -2, 0 ve 2 değerleri kullanılarak, her iki bölge için ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin (4 + 4) toplanmasıyla elde edilen 8 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ve doğrunun kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
x3−3x=x  ⟹  x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \implies x^3 - 4x = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0 denklemi çözüldüğünde kesişim noktalarının apsisleri x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını do��ru bir şekilde belirleyebilmek için kesişim noktalarının apsislerini bulmamız gerekir.
2
Grafiği inceleyerek hangi aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirleriz ve alan integrallerini yazarız.
[−2,0][-2, 0] aralığında eğri doğrunun üstünde olduğundan A1=∫−20(x3−3x−x)dx=∫−20(x3−4x)dxA_1 = \int_{-2}^0 (x^3 - 3x - x) dx = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x) dx olur. [0,2][0, 2] aralığında ise doğru eğrinin üstünde olduğundan A2=∫02(x−(x3−3x))dx=∫02(4x−x3)dxA_2 = \int_0^2 (x - (x^3 - 3x)) dx = \int_0^2 (4x - x^3) dx olur.
İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken integral sınırları içerisinde daima üstteki fonksiyonun denkleminden alttaki fonksiyonun denklemi çıkarılır.
3
Belirli integrallerin değerlerini hesaplarız.
A1=[x44−2x2]−20=0−(4−8)=4A_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4 ve A2=[2x2−x44]02=(8−4)−0=4A_2 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4 olarak bulunur.
Her bir bölgenin sınırladığı alan miktarını sayısal olarak bulmak için.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı buluruz.
A1+A2=4+4=8A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare.
Bizden istenen toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan belirli integral yardımıyla hesaplanırken, kesişim noktaları sınırları belirler ve ilgili aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral alınır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru