Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisi ile g(x)=2x2+2xg(x) = 2x^2 + 2x parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    1254\frac{125}{4}
  2. B
    1294\frac{129}{4}
  3. 1314\frac{131}{4}Cevap
  4. D
    1354\frac{135}{4}
  5. E
    1414\frac{141}{4}

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 1314\frac{131}{4} birimkaredir.
Doğru alan hesabı için iki eğrinin kesişim noktaları olan x=−1x = -1, x=0x = 0 ve x=4x = 4 apsisli noktaların doğru belirlenmesi ve bu sınırlar altında iki ayrı bölge halinde alan integrallerinin 34+32\frac{3}{4} + 32 şeklinde toplanması gerekir. Bu da bizi 1314\frac{131}{4} sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
İki eğrinin kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleyelim.
x3−x2−2x=2x2+2x  ⟹  x3−3x2−4x=0  ⟹  x(x−4)(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = 2x^2 + 2x \implies x^3 - 3x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4)(x + 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x1=−1x_1 = -1, x2=0x_2 = 0 ve x3=4x_3 = 4 olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan kapalı bölgelerin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Belirlenen aralıklarda hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlemek için işaret incelemesi yapalım ve alan integrallerini yazalım.
[−1,0][-1, 0] aralığında f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) olduğundan bu bölgenin alanı A1=∫−10(f(x)−g(x)) dxA_1 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx olur. [0,4][0, 4] aralığında ise g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan bu bölgenin alanı A2=∫04(g(x)−f(x)) dxA_2 = \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral kurulmalıdır.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki birinci bölgenin alanı olan A1A_1 değerini hesaplayalım.
A1=∫−10(x3−3x2−4x) dx=[x44−x3−2x2]−10=0−(14+1−2)=34A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - 3x^2 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 - 2x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + 1 - 2 \right) = \frac{3}{4} birimkare bulunur.
İlk bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
4
[0,4][0, 4] aralığındaki ikinci bölgenin alanı olan A2A_2 değerini hesaplayalım.
A2=∫04(2x2+2x−(x3−x2−2x)) dx=∫04(3x2+4x−x3) dx=[x3+2x2−x44]04=(64+32−64)−0=32A_2 = \int_{0}^{4} (2x^2 + 2x - (x^3 - x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (3x^2 + 4x - x^3) \, dx = \left[ x^3 + 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{4} = (64 + 32 - 64) - 0 = 32 birimkare bulunur.
İkinci bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
5
Bulunan iki alanı toplayarak toplam alanı elde edelim.
A=A1+A2=34+32=1314A = A_1 + A_2 = \frac{3}{4} + 32 = \frac{131}{4} birimkare elde edilir.
İki eğri arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun belirli integrali ile hesaplanır.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru