Hacmi 24\pi \text{ cm}^3 olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Hacmi $24\pi \text{ cm}^3$ olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu üretilecektir. Bu kutunun alt ve üst tabanlarında kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti $3 \text{ TL/cm}^2$ , yan yüzeyinde kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti ise $2 \text{ TL/cm}^2$ dir.

Buna göre, bu kutunun toplam malzeme maliyetinin en az olması için yüksekliği kaç $\text{cm}$ olmalıdır?

A
2
B
3
C
4
6Cevap
E
12

Cevap

Malzeme maliyetini en aza indiren yükseklik değeri 6 cm'dir.

Toplam maliyet fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen yarıçap değeri için yüksekliğin 6 cm olduğu bulunur. Bu değer maliyeti en aza indiren yüksekliktir.

Adım Adım Çözüm

Silindirin hacim formülünü yazarak yükseklik (

h

) ile yarıçap (

r

) arasındaki ilişkiyi belirleyin.

V = \pi r^2 h = 24\pi \implies h = \frac{24}{r^2}

Maliyet fonksiyonunu tek bir değişşkene (

r

) bağlı olarak yazabilmek için bu ilişki gereklidir.

Tabanların ve yan yüzeyin alanlarını birim maliyetleriyle çarparak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturun.

C(r) = 3 \cdot (2\pi r^2) + 2 \cdot (2\pi r h) = 6\pi r^2 + 4\pi r h

. Buradan

h

yerine

\frac{24}{r^2}

yazıldığında:

C(r) = 6\pi r^2 + \frac{96\pi}{r}

elde edilir.

Maliyetin minimum olduğu noktayı türev yardımıyla bulmak için maliyet fonksiyonu oluşturulmalıdır.

Maliyet fonksiyonunun

r

değişkenine göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.

C'(r) = 12\pi r - \frac{96\pi}{r^2} = 0 \implies 12\pi r = \frac{96\pi}{r^2} \implies r^3 = 8 \implies r = 2

Maliyet fonksiyonunu minimum yapan yarıçap değerini bulmak için birinci türevin kökü hesaplanır.

Bulunan

r = 2

cm değerini kullanarak silindirin yüksekliğini (

h

) hesaplayın.

h = \frac{24}{r^2} = \frac{24}{2^2} = 6

Soruda bizden minimum maliyeti sağlayan yükseklik (

h

) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi, kısıt denkleminin (hacim) hedef fonksiyonda (maliyet) yerine yazılması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru