Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x3−2x2f(x) = x^3 - 2x^2 fonksiyonunun grafiği ile g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x parabolü koordinat düzleminde kesişerek sınırlı bölgeler oluşturmaktadır. Buna göre, bu eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    0
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. 12\frac{1}{2}Cevap
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    83\frac{8}{3}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı \frac{1}{2} birimkaredir.
Eğriler x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişirler. [0,1][0, 1] aralığında üstte olan eğri ile alttaki eğrinin farkının integrali 14\frac{1}{4} birimkaredir. [1,2][1, 2] aralığında ise fonksiyonların konumu değiştiği için fark fonksiyonunun işareti ters çevrilerek alınan integral yine 14\frac{1}{4} birimkare değerini verir. Bu iki bölgenin alanları toplamı olan 12\frac{1}{2} birimkare doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyelim.
x3−2x2=x2−2x  ⟹  x3−3x2+2x=0  ⟹  x(x−1)(x−2)=0x^3 - 2x^2 = x^2 - 2x \implies x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \implies x(x-1)(x-2) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x1=0x_1 = 0, x2=1x_2 = 1 ve x3=2x_3 = 2 olarak bulunur.
Eğrilerin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirleyerek entegrasyon sınırlarını oluşturmak için bu adım gereklidir.
2
[0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında hangi fonksiyonun üstte oldu��unu belirleyelim.
x∈(0,1)x \in (0, 1) için f(x)>g(x)f(x) > g(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫01(f(x)−g(x)) dx\int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx olur. x∈(1,2)x \in (1, 2) için g(x)>f(x)g(x) > f(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫12(g(x)−f(x)) dx\int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
Alan hesabının pozitif değer vermesi için üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılması gerekir.
3
Her iki aralıktaki alanları ayrı ayrı hesaplayarak toplayalım.
A1=∫01(x3−3x2+2x) dx=[x44−x3+x2]01=14A_1 = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} ve A2=∫12(−x3+3x2−2x) dx=[−x44+x3−x2]12=0−(−14)=14A_2 = \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x^2 - 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 \right]_{1}^{2} = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} bulunur. Toplam alan A1+A2=14+14=12A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} birimkaredir.
Sınırlanan iki farklı kapalı bölgenin alanlarının toplamını elde etmek için bu hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki fark fonksiyonunun belirli integraliyle hesaplanır. Eğriler birbirini kestiğinde integral sınırları kesişim noktalarına göre parçalanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru