Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 parabolü, bu parabole x=3x = 3 apsisli noktasında teğet olan doğru ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    66
  2. B
    193\frac{19}{3}
  3. 99Cevap
  4. D
    353\frac{35}{3}
  5. E
    83\frac{8}{3}

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabole x=3x = 3 noktasında teğet olan doğru y=2x−6y = 2x - 6 denklemine sahiptir. x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol bu doğrudan üstte konumlandığından, bu eğriler ve yy-ekseni (x=0x=0) arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak elde edilen (x−3)2(x-3)^2 ifadesinin 00 ile 33 sınırları arasında integralinin alınmasıyla hesaplanır. Bu hesaplama sonucunda alan 99 birimkare olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 99 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak
x=3x = 3 için y=32−4(3)+3=0y = 3^2 - 4(3) + 3 = 0 olup, teğet noktası (3,0)(3, 0) olarak elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek adına teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla hesaplamak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 türev fonksiyonundan, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimi m=f′(3)=2(3)−4=2m = f'(3) = 2(3) - 4 = 2 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denklemini yazmak
Eğimi m=2m = 2 olan ve (3,0)(3, 0) noktasından geçen doğrunun denklemi y−0=2(x−3)  ⟹  y=2x−6y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklem formülü kullanılarak teğet doğrusu belirlenir.
4
Eğriler arasında kalan alanı belirli integral ile hesaplamak
x∈[0,3]x \in [0, 3] aralığında parabol teğet doğrusunun üstünde yer aldığından, alan A=∫03[(x2−4x+3)−(2x−6)]dx=∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9A = \int_{0}^{3} \left[(x^2 - 4x + 3) - (2x - 6)\right] dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[\frac{(x-3)^3}{3}\right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 birimkare bulunur.
Sınırlı bölge üstteki parabol ile alttaki teğet doğrusu arasında x=0x = 0 (yy-ekseni) ve x=3x = 3 (kesişim noktası) sınırları ile belirlenir.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru