Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMaksimum ve Minimum Problemleri

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir nehir boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir araziyi tel örgüyle çevirmek istemektedir. Nehir kenar��ndaki kenar için tel örgü kullanılmayacaktır. Nehire dik olan iki kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı 10 TL10\text{ TL}, nehire paralel olan kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı ise 15 TL15\text{ TL}'dir. Bu iş için en fazla 1200 TL1200\text{ TL} bütçe ayıran çiftçinin çevirebileceği arazinin alanı en fazla kaç metrekaredir?

Cevap: 1200 m^2

Cevap

Çiftçinin çevirebileceği maksimum alan 1200 m21200\text{ m}^2 olarak bulunur.
Mali kısıt altında oluşturulan alan fonksiyonunun türevini sıfır yapan x=30x = 30 değeri için alan en büyük değerini alır ve bu değer 1200 m21200\text{ m}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme
20x+15y=1200⇒y=80−43x20x + 15y = 1200 \Rightarrow y = 80 - \frac{4}{3}x
Bütçe kısıtını kullanarak alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek
2
Alan fonksiyonunu tek değişkenli olarak kurma
A(x)=80x−43x2A(x) = 80x - \frac{4}{3}x^2
Maksimum değeri türev yardımıyla bulabilmek için fonksiyonu tek değişkenli hale getirmek
3
Türevi sıfır yapan noktayı bulma ve maksimum alanı hesaplama
A′(x)=80−83x=0⇒x=30A'(x) = 80 - \frac{8}{3}x = 0 \Rightarrow x = 30 ve A(30)=1200A(30) = 1200
Birinci türevin sıfır olduğu nokta yerel maksimum noktasını verir

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde kısıt denklemini kullanarak tek değişkenli hedef fonksiyonu oluşturma ve türev yardımıyla optimizasyon yapma
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru