Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ve g(x)=x2g(x) = x^2 eğrileri arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Orijinden geçen y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu, bu bölgeyi S1S_1 ve S2S_2 alanlarına sahip iki alt bölgeye ayırmaktadır. S1S_1 bölgesi y=mxy = mx doğrusunun üst tarafında kalan bölgeyi temsil etmek üzere, S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, mm gerçel sayısının değeri kaçtır?

Cevap: 6

Cevap

m gerçel sayısının değeri 6'dır.
Toplam alan 643\frac{64}{3} birimkaredir. Alanlar oranı S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} olduğu için doğrunun üstünde kalan bölgenin alanı S1=43S_1 = \frac{4}{3} birimkaredir. Bu alan ∫08−m(−x2+(8−m)x)dx=(8−m)36\int_{0}^{8-m} (-x^2 + (8-m)x) dx = \frac{(8-m)^3}{6} integraline eşittir. (8−m)36=43\frac{(8-m)^3}{6} = \frac{4}{3} eşitliğinden 8−m=28-m = 2 ve m=6m=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
−x2+8x=x2  ⟹  2x2−8x=0  ⟹  2x(x−4)=0  ⟹  x=0-x^2 + 8x = x^2 \implies 2x^2 - 8x = 0 \implies 2x(x - 4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 kesişim noktalarıdır.
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Eğriler arasında kalan toplam alanı (AA) veren integrali yazın ve hesaplayın.
A=∫04((−x2+8x)−x2)dx=∫04(−2x2+8x)dx=[−2x33+4x2]04=−1283+64=643A = \int_{0}^{4} ((-x^2 + 8x) - x^2) dx = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_0^4 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{64}{3} birimkaredir.
Toplam alanı bulmak, oranlama yaparak alt bölgelerin alanlarını bulmayı sağlar.
3
S1S_1 alanını toplam alan türünden yazın.
S1S2=115  ⟹  S1=116A=116⋅643=43\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} \implies S_1 = \frac{1}{16} A = \frac{1}{16} \cdot \frac{64}{3} = \frac{4}{3} birimkare elde edilir.
S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin toplamı tüm alana eşit olduğundan, oran kullanılarak S1S_1 alanı hesaplanır.
4
y=mxy = mx doğrusunun f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x eğrisiyle kesişim noktasını bulun.
−x2+8x=mx  ⟹  x2+(m−8)x=0  ⟹  x=8−m-x^2 + 8x = mx \implies x^2 + (m - 8)x = 0 \implies x = 8 - m (çünkü x>0x > 0 olmalıdır).
S1S_1 bölgesinin sağ sınırını belirlemek için kesişim noktası hesaplanmalıdır.
5
S1S_1 alanını integral olarak ifade edip mm değerini çözün.
S1=∫08−m((−x2+8x)−mx)dx=∫08−m((8−m)x−x2)dx=[(8−m)x22−x33]08−m=(8−m)36S_1 = \int_{0}^{8 - m} ((-x^2 + 8x) - mx) dx = \int_{0}^{8 - m} ((8 - m)x - x^2) dx = \left[ \frac{(8 - m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{8 - m} = \frac{(8 - m)^3}{6} olur. Buradan (8−m)36=43  ⟹  (8−m)3=8  ⟹  8−m=2  ⟹  m=6\frac{(8 - m)^3}{6} = \frac{4}{3} \implies (8 - m)^3 = 8 \implies 8 - m = 2 \implies m = 6 bulunur.
S1S_1 alanının sayısal değerini integral sonucuna eşitleyerek bilinmeyen mm parametresi elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın integral yardımıyla hesaplanması ve alan paylaştırma problemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru