Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| fonksiyonunun grafiği ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 8 birimkare

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 8 birimkaredir.
Sınırlı bölgenin alanı, üstteki doğru olan y=3y = 3 ile alttaki eğri olan y=∣x2−1∣y = |x^2 - 1| arasındaki farkın [−2,2][-2, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir. Bu integral simetri kullanılarak iki parçaya ayrılıp hesaplandığında sonuç 8 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Entegrasyon sınırlarını belirlemek için ∣x2−1∣=3|x^2 - 1| = 3 denklemi çözülür. x2−1=3  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 elde edilir. Diğer durum olan x2−1=−3x^2 - 1 = -3 denkleminin gerçel kökü yoktur.
2
Simetriyi kullanarak integrali basitleştirme
Alan=2∫02(3−∣x2−1∣) dxAlan = 2 \int_{0}^{2} (3 - |x^2 - 1|) \, dx
f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| ve y=3y = 3 fonksiyonları çift fonksiyonlar olduğundan, grafikler yy-eksenine göre simetriktir. Bu yüzden alan [−2,2][-2, 2] aralığı yerine [0,2][0, 2] aralığında hesaplanıp 2 ile çarpılabilir.
3
İntegrali kritik noktaya göre parçalama
Alan=2(∫01(3−(1−x2)) dx+∫12(3−(x2−1)) dx)Alan = 2 \left( \int_{0}^{1} (3 - (1 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} (3 - (x^2 - 1)) \, dx \right)
x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 noktası mutlak değerin kritik noktasıdır. [0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \le 0 olduğundan ∣x2−1∣=1−x2|x^2 - 1| = 1 - x^2 olur. [1,2][1, 2] aralığında ise ∣x2−1∣=x2−1|x^2 - 1| = x^2 - 1 olur.
4
Belirli integralleri hesaplama
Birinci parça için 73\frac{7}{3}, ikinci parça için 53\frac{5}{3}
∫01(2+x2) dx=[2x+x33]01=73\int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{7}{3} ve ∫12(4−x2) dx=[4x−x33]12=(8−83)−(4−13)=53\int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3} olarak hesaplanır.
5
Toplam alanı bulma
8
Alan=2×(73+53)=2×123=8Alan = 2 \times \left( \frac{7}{3} + \frac{5}{3} \right) = 2 \times \frac{12}{3} = 8 birimkare bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır. Mutlak değerli ifadelerde integral sınırları kritik noktalara göre parçalanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru