Dik koordinat düzleminde, x = 3y^2 - 3y - 6 ve x = 6 + 3y - 3y^2 parabolleri arasında kala… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $x = 3y^2 - 3y - 6$ ve $x = 6 + 3y - 3y^2$ parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 27 birimkare

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 27 birimkaredir.

Kesişim noktaları

y = -1

y = 2

olarak bulunduktan sonra,

[-1, 2]

aralığında sağda olan

x = 6 + 3y - 3y^2

eğrisinden solda olan

x = 3y^2 - 3y - 6

eğrisi çıkarılarak elde edilen

12 + 6y - 6y^2

ifadesinin bu aralıktaki belirli integrali hesaplandığında alan 27 birimkare olarak bulunur.

Parabollerin kesişim noktalar��nın y koordinatlarını bulmak için denklemler eşitlenir.

y = -1

y = 2

İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.

Sınırlar arasında hangi eğrinin sağda olduğunu belirlemek için aralıktan bir değer seçilerek kontrol edilir.

x = 6 + 3y - 3y^2

parabolü sağdadır.

Alan hesabında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.

Alan hesabı için belirli integral kurulur.

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (12 + 6y - 6y^2) \, dy

İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin integralidir.

İntegral alınır ve sınırlar yerine konarak alan hesaplanır.

Alan = 27

Belirli integral kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri bulunur.

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y eksenine göre integral alarak hesaplama.

Soru