Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Alt kısmı dikdörtgen, üst kısmı ise bu dikdörtgenin bir kenarını çap kabul eden yarım daire biçiminde tasarlanan bir pencerenin dış çevre uzunluğu 1212 metredir. Pencereden içeri giren ışık miktarının maksimum olması için pencerenin toplam alanının en büyük olması gerekmektedir. Buna göre, pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı kaç metredir?

  1. A
    128+π\frac{12}{8+\pi}
  2. 124+π\frac{12}{4+\pi}Cevap
  3. C
    244+π\frac{24}{4+\pi}
  4. D
    62+π\frac{6}{2+\pi}
  5. E
    3

Cevap

Pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı \frac{12}{4+\pi} metredir.
Pencerenin alanını veren fonksiyon A(r)=12r−(2+π2)r2A(r) = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 olarak kurulduğunda, bu fonksiyonun türevi A′(r)=12−(4+π)rA'(r) = 12 - (4+\pi)r olur. Türevi sıfıra eşitleyen yarıçap değeri ise doğrudan bölme işlemiyle bulunarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pencerenin boyutlarını değişkenler cinsinden tanımlayalım.
Yarım dairenin yarıçapı rr metre olsun. Bu durumda dairenin çapı ve dolayısıyla dikdörtgenin yatay kenar uzunluğu 2r2r metre olur. Dikdörtgenin dikey kenar uzunluğunu ise hh metre olarak belirleyelim.
Pencerenin dış çevre ve alan formüllerini tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için temel boyutları tanımlamamız gerekir.
2
Dış çevre uzunluğunu veren denklemi kuralım ve hh değişkenini rr cinsinden yazalım.
Pencerenin dış çevre uzunluğu, dikdörtgenin alt ve iki yan kenarı ile yarım dairenin yay uzunluğunun toplamıdır: P=2r+2h+πr=12P = 2r + 2h + \pi r = 12 olur. Buradan 2h=12−(2+π)r  ⟹  h=6−(1+π2)r2h = 12 - (2+\pi)r \implies h = 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r elde edilir.
Çevre sınırlamasını kullanarak iki değişkenli alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek amacıyla hh değerini rr cinsinden ifade etmeliyiz.
3
Pencerenin toplam alan fonksiyonunu rr cinsinden oluşturalım.
Toplam alan A(r)=Dikdo¨rtgenin Alanı+Yarım Dairenin Alanı=2r⋅h+12πr2A(r) = \text{Dikdörtgenin Alanı} + \text{Yarım Dairenin Alanı} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 olur. hh yerine bulduğumuz ifadeyi yazarsak: A(r)=2r(6−(1+π2)r)+12πr2=12r−2r2−πr2+12πr2=12r−(2+π2)r2A(r) = 2r\left(6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r\right) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 elde edilir.
Maksimum yapmak istediğimiz alan ifadesini tek bir değişken (rr) cinsinden fonksiyon olarak tanımlamalıyız.
4
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek maksimum alanı veren rr değerini bulalım.
A′(r)=12−2(2+π2)r=12−(4+π)r=0  ⟹  (4+π)r=12  ⟹  r=124+πA'(r) = 12 - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = 12 - (4+\pi)r = 0 \implies (4+\pi)r = 12 \implies r = \frac{12}{4+\pi} bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını bulmak için birinci türevinin kökünü hesaplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, geometrik şekillerin çevre ve alan ilişkilerinin modellenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru