Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolü ile g(x)=2xg(x) = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    13\frac{1}{3}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 43\frac{4}{3}Cevap
  4. D
    53\frac{5}{3}
  5. E
    2

Cevap

Sınırlandırılmış bölgenin alanı 4/3 birimkaredir.
Kesişim noktaları olan x=0x=0 ve x=2x=2 sınırları arasında, üstte yer alan y=2xy=2x doğrusu ile altta yer alan y=x2y=x^2 parabolünün farkının integrali alındığında bölgenin alanı 4/3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitleyin.
x2=2x  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0
İki eğri arasında kalan alanın sınırlarını (entegrasyon limitlerini) belirlemek amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.
2
Kesişim noktalarını bulun.
x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Elde edilen denklemin kökleri entegrasyonun alt ve üst sınırlarını oluşturur.
3
Belirlenen aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu tespit edin ve alanı veren belirli integrali yazın.
[0,2][0, 2] aralığında 2x≥x22x \geq x^2 olduğundan, Alan = ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak entegre edilir.
4
Belirli integrali hesaplayarak alanı bulun.
S=[x2−x33]02=(22−233)−0=4−83=43S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
İntegral alma kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktalarının belirlediği aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.
Bu soruyu puanla

Konular

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru