Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T_1(-4, 0) olan ve kolları sağa doğru açılan P_1 pa… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası $T_1(-4, 0)$ olan ve kolları sağa doğru açılan $P_1$ parabolü ile tepe noktası $T_2(8, 0)$ olan ve kolları sola doğru açılan $P_2$ parabolü verilmiştir. Bu iki parabol, $y$ -eksenini aynı $(0, 2)$ ve $(0, -2)$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre, $P_1$ ve $P_2$ parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevap: 32 birimkare

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.

Parabollerin denklemleri sırasıyla

x = y^2 - 4

x = -2y^2 + 8

olarak bulunur. Kesim noktaları olan

y = -2

y = 2

sınırları arasında, sağdaki parabolden soldaki parabol çıkarılarak

y

değişkenine göre alınan integral alanı

32

birimkare olarak verir.

Adım Adım Çözüm

P_1

parabolünün denklemini bulma.

x = y^2 - 4

Tepe noktası

T_1(-4, 0)

olan ve sağa açılan yatay parabol denklemi

x = ay^2 - 4

şeklindedir.

(0,2)

noktasını sağladığından

0 = 4a - 4 \implies a = 1

olur.

P_2

parabolünün denklemini bulma.

x = -2y^2 + 8

Tepe noktası

T_2(8, 0)

olan ve sola açılan yatay parabol denklemi

x = by^2 + 8

şeklindedir.

(0,2)

noktasını sağladığından

0 = 4b + 8 \implies b = -2

olur.

Kesim noktalarını belirleme.

y = -2

y = 2

İki parabolün kesim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözeriz:

y^2 - 4 = -2y^2 + 8 \implies 3y^2 = 12 \implies y = \pm 2

Alan integralini kurma ve hesaplama.

[-2, 2]

aralığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak

y

eksenine göre integral alınır:

\int_{-2}^{2} ((-2y^2 + 8) - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (12 - 3y^2) \, dy = [12y - y^3]_{-2}^{2} = 32

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın, y değişkenine göre belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru