Examkin

Soru

Zorluk: ZorMaksimum ve Minimum Problemleri

Doğrusal bir kıyı şeridine sahip bir denizde, kıyıdan 4 km4\text{ km} açıkta bulunan bir AA noktasındaki yüzücü, kıyı üzerinde yer alan ve kendisine en yakın kıyı noktasına 12 km12\text{ km} uzaklıktaki bir BB noktasına ulaşmak istemektedir. Yüzücünün sudaki hızı saatte 3 km3\text{ km}, kıyıdaki yürüyüş hızı ise saatte 5 km5\text{ km}'dir. Buna göre, yüzücünün BB noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe kaç km\text{km} olmalıdır?

Cevap: 9 km

Cevap

Yüzücünün kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe 9 km'dir.
Yüzücünün A noktasından C noktasına yüzme süresi ile C noktasından B noktasına yürüme süresinin toplamını veren fonksiyon T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{12-x}{5} şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=3x = 3 elde edilir. Yüzücünün karada yürümesi gereken mesafe ise 12−x=912 - x = 9 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzücünün kıyıya ulaştığı noktan��n en yakın kıyı noktasına olan uzaklığını xx olarak değişken tanımlayarak yolların uzunluklarını ifade etmek.
Denizde kat edilen mesafe AC=x2+16AC = \sqrt{x^2 + 16} km, karada kat edilen mesafe CB=12−xCB = 12 - x km'dir.
Yüzücünün toplam süresini tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek için.
2
Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak toplam süreyi veren T(x)T(x) fonksiyonunu oluşturmak.
T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} + \frac{12 - x}{5} saat.
Minimize etmek istediğimiz toplam süreyi matematiksel olarak modellemek.
3
Oluşturulan T(x)T(x) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmak.
T′(x)=x3x2+16−15=0  ⟹  5x=3x2+16  ⟹  x=3T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{5} = 0 \implies 5x = 3\sqrt{x^2+16} \implies x = 3 km.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını türev yardımıyla tespit etmek.
4
Bulunan x=3x = 3 değerini kullanarak yüzücünün karada yürümesi gereken mesafeyi (12−x12 - x) hesaplamak.
12−3=912 - 3 = 9 km.
Soruda bizden yüzücünün kıyıya çıktığı noktadan itibaren karada yürümesi gereken mesafe istendiği için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bu konudan daha fazla soru