Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff birim fonksiyon, gg sabit fonksiyon ve hh doğrusal fonksiyondur.

Her xx gerçek sayısı için,
h(f(x)+g(x))=3x−6h(f(x) + g(x)) = 3x - 6
h(f(2))−g(h(1))=4h(f(2)) - g(h(1)) = 4

eşitlikleri sağlandığına göre, h(g(3))+f(h(−2))h(g(3)) + f(h(-2)) toplamı kaçtır?
  1. -15Cevap
  2. B
    5
  3. C
    -12
  4. D
    0
  5. E
    -5

Cevap

Doğru cevap −15-15 değeridir.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, birim fonksiyonun f(x)=xf(x)=x, sabit fonksiyonun g(x)=cg(x)=c ve doğrusal fonksiyonun h(x)=3x−3h(x)=3x-3 kuralları doğru bir şekilde belirlenip yerine yazılmasıyla elde edilen −15-15 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların genel ifadelerini belirlemek.
f(x)=xf(x) = x (birim fonksiyon), g(x)=cg(x) = c (cc bir gerçek sayı olmak üzere sabit fonksiyon) ve h(x)=ax+bh(x) = ax + b (aa ve bb birer gerçek sayı ve a≠0a \neq 0 olmak üzere doğrusal fonksiyon).
Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.
2
Birinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun katsayılarını ilişkilendirmek.
h(f(x)+g(x))=h(x+c)=a(x+c)+b=ax+ac+bh(f(x) + g(x)) = h(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b elde edilir. Bu ifade 3x−63x - 6 ifadesine eşit olduğundan, a=3a = 3 ve 3c+b=−63c + b = -6 denklemleri bulunur.
Polinomların/fonksiyonların eşitliği ilkesine göre aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
3
İkinci eşitliği kullanarak ikinci bir denklem elde etmek ve katsayıları çözmek.
h(f(2))−g(h(1))=h(2)−c=(3(2)+b)−c=6+b−c=4h(f(2)) - g(h(1)) = h(2) - c = (3(2) + b) - c = 6 + b - c = 4 olduğundan, b−c=−2b - c = -2 elde edilir. Elde edilen 3c+b=−63c + b = -6 ve b−c=−2b - c = -2 denklemleri ortak çözüldüğünde c=−1c = -1 ve b=−3b = -3 bulunur. Böylece g(x)=−1g(x) = -1 ve h(x)=3x−3h(x) = 3x - 3 olarak elde edilir.
Birim fonksiyon f(2)=2f(2)=2 değerini verir, sabit fonksiyon ise her girdi için cc değerini üretir. İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek bilinmeyen parametreler bulunur.
4
İstenen ifadenin değerini hesaplamak.
g(3)=−1g(3) = -1 olduğundan h(g(3))=h(−1)=3(−1)−3=−6h(g(3)) = h(-1) = 3(-1) - 3 = -6 olur. h(−2)=3(−2)−3=−9h(-2) = 3(-2) - 3 = -9 olup f(h(−2))=f(−9)=−9f(h(-2)) = f(-9) = -9 bulunur. Bu iki değer toplandığında −6+(−9)=−15-6 + (-9) = -15 elde edilir.
Bulunan fonksiyon kuralları kullanılarak istenen bileşke ve değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların bileşke işlemleriyle birlikte cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi kurmadan önce x=2x=2 yazarak h(f(2)+g(2))=h(2+c)h(f(2)+g(2)) = h(2+c) ifadesinin 3(2)−6=03(2)-6=0 olduğunu görebiliriz. Buradan doğrusal fonksiyonun kökünün 2+c2+c olduğunu saptayıp çözümü pratikleştirebiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru