Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanıml��

f

doğrusal fonksiyonu için

f(1) = 5

f(3) = 11

olduğuna göre,

f(0)

değeri kaçtır?

3

5

2

8

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2

Doğrusal fonksiyonlar

f(x) = ax + b

biçiminde tanımlanır. Verilen

f(1) = 5

ifadesinden

a + b = 5

ve

f(3) = 11

ifadesinden

3a + b = 11

eşitlikleri elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında

2a = 6 \implies a = 3

olur. Bulunan değer birinci denklemde yerine yazıldığında

3 + b = 5 \implies b = 2

bulunur. Bizden istenen

f(0)

değeri doğrudan

b

sabitine eşit olduğundan doğru yanıt 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal fonksiyonun genel formülü yazılır.

f(x) = ax + b

şeklinde bir denklem kurulur.

Doğrusal fonksiyonlar genel olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli ifadelerdir.

2

Verilen

f(1) = 5

ve

f(3) = 11

değerleri formülde yerine yazılır.

a + b = 5

ve

3a + b = 11

denklemleri elde edilir.

Fonksiyondaki değişkenlerin yerine verilen değerler yazılarak katsayılara bağlı bir denklem sistemi oluşturulur.

3

Oluşturulan iki bilinmeyenli denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

3a + b = 11

denkleminden

a + b = 5

denklemi çıkarılarak

2a = 6 \implies a = 3

bulunur.

İki denklem arasındaki fark alınarak sabit terim olan

b

yok edilir ve eğim katsay��sı olan

a

değeri hesaplanır.

4

Bulunan

a = 3

değeri denklemlerden birinde yerine yazılarak

b

hesaplanır.

3 + b = 5 \implies b = 2

olarak elde edilir.

Sistemdeki bilinmeyenlerden bir diğeri olan sabit terimin bulunması hedeflenir.

5

f(0)

değeri genel fonksiyon formülünde yerine yazılarak hesaplanır.

f(0) = a \cdot 0 + b = b = 2

bulunur.

Fonksiyonun sıfır noktasındaki değeri doğrudan sabit terimi olan

b

değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyon denklemi kurma ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla katsayıları bulma.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2Soru →

f(x) = (a - 2)x^2 + (b + 3)x + a \cdot b

fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, $f(2026)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri -6 olarak bulunur.

Sabit fonksiyon tanımı gereği değişken içeren terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buradan

a-2=0 \implies a=2

ve

b+3=0 \implies b=-3

bulunur. Fonksiyon

f(x) = a \cdot b

halini alır ve

f(x) = 2 \cdot (-3) = -6

olur. Fonksiyon sabit olduğundan her

x

gerçel sayısı için

f(x) = -6

'dır, dolayısıyla

f(2026) = -6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit fonksiyonda x ve x^2 terimlerinin katsayılarını sıfıra eşitlemek

a = 2 ve b = -3

Sabit fonksiyonda değişken içeren terimler bulunmamalıdır.

2

Bulunan a ve b değerlerini kullanarak f(x) fonksiyonunu yazmak ve f(2026) değerini hesaplamak

f(x) = -6 ve f(2026) = -6

Sabit fonksiyonun tanımı gereği her girdi için çıktı aynı sabite eşittir.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonda değişkenli terimlerin katsayıları sıfırdır ve fonksiyon her girdi için tek bir sabit değere eşittir.

Soru 3Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

f(x) = 2x + a

g(x) = b

olmak üzere,

f(g(3)) = 7

g(f(1)) = 3

olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

8

2

4

-8

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4'tür.

Sabit fonksiyon tanımından

g(x) = b

olduğundan her girdi için sonuç

b

'dir. Buradan

b = 3

bulunur. Bu değer

f(g(3)) = 7

eşitliğinde yerine yazıldığında

f(3) = 7

elde edilir. Doğrusal fonksiyon kuralı

f(x) = 2x + a

olduğundan

f(3) = 2(3) + a = 7

denkleminden

a = 1

bulunur. Sonuç olarak

a + b = 1 + 3 = 4

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

g(x)

fonksiyonunun sabit fonksiyon olmasından yararlanarak

b

değerini bulunuz.

b = 3

olarak bulunur.

g(x)

sabit fonksiyon olduğundan tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit değere eşler. Dolayısıyla her

x

gerçek sayısı için

g(x) = b

olur. Buradan

g(f(1)) = b = 3

elde edilir.

2

f(g(3)) = 7

eşitliğini kullanarak

a

değerini hesaplayınız.

a = 1

olarak bulunur.

g(3) = b = 3

olduğundan

f(g(3)) = f(3) = 7

olur.

f(x) = 2x + a

fonksiyonunda

x = 3

yazılırsa

2(3) + a = 7 \implies 6 + a = 7 \implies a = 1

bulunur.

3

a + b

toplamını bulunuz.

a + b = 4

olarak bulunur.

a = 1

ve

b = 3

değerleri toplanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bileşke altındaki davranışları.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

f(5) + g(3) = 12

olduğuna göre, $g(7)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.

Birim fonksiyon tanımından

f(5) = 5

elde edilir. Bu değer

f(5) + g(3) = 12

eşitliğinde yerine yazıldığında

g(3) = 7

bulunur. Sabit fonksiyonun tüm değerleri birbirine eşit olduğundan,

g(7)

değeri de

g(3)

değerine eşit olup 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyon tanımını uygulama

f(5) = 5

Birim fonksiyon tanım gereği her elemanı kendisine eşler, yani

f(x) = x

şeklindedir.

2

Sabit fonksiyonun değerini bulma

g(3) = 7

f(5) + g(3) = 12

denkleminde

f(5)

yerine

5

yazıldığında

5 + g(3) = 12

elde edilir ve buradan

g(3) = 7

bulunur.

3

Sabit fonksiyon özelliğinden istenen değeri belirleme

g(7) = 7

Sabit fonksiyon tanım kümesindeki tüm elemanları aynı sabit sayıya götürür, dolayısıyla

g(3) = 7

ise her

x

için

g(x) = 7

olur ve

g(7) = 7

elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim ve Sabit Fonksiyon Tanımları

Soru 5Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(h(x) + g(x)) = 4x - f(1)

(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(a) = g(a)$ eşitliğini sağlayan $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.

Doğrusal fonksiyonun kuralı

f(x) = 4x - 14

ve sabit fonksiyonun kuralı

g(x) = 6

olarak elde edilir. Buradan

f(a) = g(a)

eşitliği kurulduğunda

4a - 14 = 6

denklemi çözülerek

a = 5

sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel kurallarını cebirsel olarak tanımlayın.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = mx + n

eşitlikleri kurulmuştur.

Fonksiyonların özelliklerini cebirsel denklemlere dönüştürmek için.

2

İlk fonksiyonda verilen kuralları yerine koyarak

m

katsayısını belirleyin ve

c

ile

n

arasında birinci bağıntıyı kurun.

m = 4

ve

2c + n = -2

bağıntısı bulunmuştur.

Her

x

gerçek sayısı için geçerli olan polinom eşitliğini kullanmak için.

3

Bileşke fonksiyon tanımlarını uygulayarak ikinci eşitlikten yeni bir bağıntı üretin.

3c + n = 4

bağıntısı elde edilmiştir.

Sabit fonksiyonun bileşkeye etkisini ve doğrusal fonksiyonun kuralını birleştirmek için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek fonksiyonları netleştirin.

c = 6

,

n = -14

bulunarak

f(x) = 4x - 14

ve

g(x) = 6

kurallarına ulaşılmıştır.

Fonksiyonların kurallarını eksiksiz tanımlamak için.

5

f(a) = g(a)

denklemini kurarak bilinmeyen

a

değerini hesaplayın.

a = 5

bulunmuştur.

Soruda hedeflenen eşitliği sağlayan gerçek sayıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların kurallarının belirlenmesi ve bileşke fonksiyon cebiri

Soru 6Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x + g(x)) = h(3x) + f(2)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(h(1)) = g(5) + 5

olduğuna göre,

(f \circ g)(1) + (g \circ h)(2) + (h \circ f)(3)

toplamının değeri kaçtır?

17

13

25

29

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İstenen toplamın değeri 25 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon tanımları sırasıyla uygulandığında doğrusal fonksiyon

f(x) = 3x + 4

, sabit fonksiyon

g(x) = 2

ve birim fonksiyon

h(x) = x

olarak elde edilir. Bu fonksiyonlar altında istenen bileşke değerleri sırasıyla 10, 2 ve 13 olup toplamları 25 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim (

h

) ve sabit (

g

) fonksiyon tanımlarını yazıp birinci eşitlikte yerlerine koymak.

h(x) = x

olduğundan

h(3x) = 3x

olur.

g(x) = c

(sabit) olsun.

f(x) = ax + b

doğrusal fonksiyon olmak üzere birinci eşitlik:

f(x + c) = 3x + f(2)

şekline gelir.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini belirlemek.

2

Elde edilen eşitlikten doğrusal fonksiyonun katsayısını (

a

) ve sabit fonksiyonun değerini (

c

) bulmak.

a(x+c) + b = 3x + (2a + b) \implies ax + ac + b = 3x + 2a + b

. Buradan

a = 3

ve

ac = 2a \implies 3c = 6 \implies c = 2

bulunur. Dolayısıyla

g(x) = 2

olur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği kuralını kullanarak katsayıları eşitlemek.

3

İkinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun sabit terimini (

b

) bulmak.

f(h(1)) = g(5) + 5 \implies f(1) = 2 + 5 = 7

olur.

f(x) = 3x + b

olduğundan

f(1) = 3(1) + b = 3 + b = 7 \implies b = 4

bulunur. Buradan

f(x) = 3x + 4

elde edilir.

Birim ve sabit fonksiyonların değerlerini yerine yazarak bilinmeyen sabit terimi hesaplamak.

4

İstenen bileşke fonksiyon değerlerini hesaplayıp toplamak.

(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 3(2) + 4 = 10

,

(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(2) = 2

,

(h \circ f)(3) = h(f(3)) = f(3) = 3(3) + 4 = 13

. Toplam:

10 + 2 + 13 = 25

bulunur.

Bileşke fonksiyon kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları, özellikleri ve cebirsel olarak modellenmesi.

Soru 7Soru →

Tanım kümeleri gerçel sayılar olan $f$ doğrusal, $g$ sabit ve $h$ birim fonksiyonları için

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

h(g(x)) + f(g(1)) = 35

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(g(2)) - g(f(2))$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Fonksiyonların kuralları belirlendikten sonra yapılan işlemlerle f(g(2)) - g(f(2)) ifadesinin değeri 19 olarak bulunur.

Birim fonksiyon

h(x)=x

, sabit fonksiyon

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyon

f(x)=px+q

özellikleri kullanılarak oluşturulan denklem sisteminde

p=3

,

q=3

ve

c=8

değerleri bulunur. Buradan

f(x)=3x+3

ve

g(x)=8

kurallarına ulaşılır. İstenen

f(g(2)) - g(f(2))

ifadesinde

f(8) - g(f(2)) = 27 - 8 = 19

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel gösterimleri belirlenir.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = px + q

Fonksiyon türlerinin tanımları gereği bu formüller geçerlidir.

2

Birinci eşitlik kullanılarak katsayılar ve sabitler karşılaştırılır.

p = 3

ve

c = q + 5

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

ifadesi

(px + q) - c = 3x - 5

biçimine dönüşür ve polinom eşitliği uygulanır.

3

İkinci eşitlik yardımıyla bilinmeyen parametreler çözülür.

q = 3

ve

c = 8

h(g(x)) + f(g(1)) = 35 \implies c + (3c + q) = 35

denkleminde

c = q + 5

yerine konularak çözüm yapılır.

4

Elde edilen

f(x) = 3x + 3

ve

g(x) = 8

kuralları ile istenen değer hesaplanır.

f(g(2)) - g(f(2)) = 19

f(g(2)) = f(8) = 27

ve

g(f(2)) = 8

değerleri farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların cebirsel tanımları ve bileşke işlemleriyle ilişkileri

Soru 8Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ doğrusal fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

h(f(x) + g(x)) = 3x - 6

h(f(2)) - g(h(1)) = 4

eşitlikleri sağlandığına göre,

h(g(3)) + f(h(-2))

toplamı kaçtır?

-15

5

-12

0

-5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Doğru cevap

-15

değeridir.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, birim fonksiyonun

f(x)=x

, sabit fonksiyonun

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyonun

h(x)=3x-3

kuralları doğru bir şekilde belirlenip yerine yazılmasıyla elde edilen

-15

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonların genel ifadelerini belirlemek.

f(x) = x

(birim fonksiyon),

g(x) = c

(

c

bir gerçek sayı olmak üzere sabit fonksiyon) ve

h(x) = ax + b

(

a

ve

b

birer gerçek sayı ve

a \neq 0

olmak üzere doğrusal fonksiyon).

Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.

2

Birinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun katsayılarını ilişkilendirmek.

h(f(x) + g(x)) = h(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b

elde edilir. Bu ifade

3x - 6

ifadesine eşit olduğundan,

a = 3

ve

3c + b = -6

denklemleri bulunur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği ilkesine göre aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

3

İkinci eşitliği kullanarak ikinci bir denklem elde etmek ve katsayıları çözmek.

h(f(2)) - g(h(1)) = h(2) - c = (3(2) + b) - c = 6 + b - c = 4

olduğundan,

b - c = -2

elde edilir. Elde edilen

3c + b = -6

ve

b - c = -2

denklemleri ortak çözüldüğünde

c = -1

ve

b = -3

bulunur. Böylece

g(x) = -1

ve

h(x) = 3x - 3

olarak elde edilir.

Birim fonksiyon

f(2)=2

değerini verir, sabit fonksiyon ise her girdi için

c

değerini üretir. İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek bilinmeyen parametreler bulunur.

4

İstenen ifadenin değerini hesaplamak.

g(3) = -1

olduğundan

h(g(3)) = h(-1) = 3(-1) - 3 = -6

olur.

h(-2) = 3(-2) - 3 = -9

olup

f(h(-2)) = f(-9) = -9

bulunur. Bu iki değer toplandığında

-6 + (-9) = -15

elde edilir.

Bulunan fonksiyon kuralları kullanılarak istenen bileşke ve değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların bileşke işlemleriyle birlikte cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi kurmadan önce

x=2

yazarak

h(f(2)+g(2)) = h(2+c)

ifadesinin

3(2)-6=0

olduğunu görebiliriz. Buradan doğrusal fonksiyonun kökünün

2+c

olduğunu saptayıp çözümü pratikleştirebiliriz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı i��in,

f(x) + g(x) = 3x + 7

(f \circ h)(g(1)) = 13

olduğuna göre, $f(g(5)) + h(g(2))$ toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen toplamın değeri 16'dır.

Birim fonksiyon tanımından

h(3) = 3

, sabit fonksiyon tanımından

g(5) = 3

ve katsayı eşitlemelerinden elde edilen

f(x) = 3x + 4

kuralı kullanılarak

f(3) = 13

bulunur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 16 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel tanımlarını yazmak.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = ax + b

olarak belirlendi.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini oluşturmak için.

2

f(x) + g(x) = 3x + 7

eşitliğini kullanarak katsayıları eşitlemek.

a = 3

ve

b + c = 7

elde edildi.

İki polinomun eşitliği ilkesini uygulamak için.

3

(f \circ h)(g(1)) = 13

eşitliğini düzenlemek.

f(c) = 13 \implies 3c + b = 13

elde edildi.

Bileşke fonksiyon bileşenlerini ve sabit fonksiyon değerini yerine koymak için.

4

b + c = 7

ve

3c + b = 13

denklem sistemini çözmek.

c = 3

ve

b = 4

bulundu. Dolayısıyla

f(x) = 3x + 4

ve

g(x) = 3

oldu.

Bilinmeyen katsayıları bulup fonksiyonların kurallarını tam olarak belirlemek için.

5

f(g(5)) + h(g(2))

ifadesinin değerini hesaplamak.

f(3) + h(3) = 13 + 3 = 16

bulundu.

Bulunan fonksiyon kurallarını kullanarak istenen bileşke ve değer işlemlerini yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların cebirsel denklemlerde uygulanması.

Soru 10Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan

f

sabit,

g

birim ve

h

doğrusal fonksiyonları her

x

gerçel sayısı için,

h(x) - f(x) = g(2x + 5)

h(f(3)) = 17

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(8) + h(1)$ toplamının değeri kaçtır?

7

11

19

15

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Birim fonksiyon tanımından

g(2x+5)=2x+5

yazılır. Sabit fonksiyon tanımından

f(x)=c

kabul edilirse ilk denklem

h(x) = 2x + c + 5

biçiminde bir doğrusal fonksiyon belirtir. İkinci denklemde

f(3)=c

olacağından

h(c)=17

eşitliği kurulur. Buradan

2c+c+5=17 \implies 3c=12 \implies c=4

elde edilir. Bu durumda

f(8)=4

ve

h(1)=2(1)+4+5=11

bulunur. İstenen toplamın değeri 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birim fonksiyonun tanımı eşitliğe uygulanır.

g(2x + 5) = 2x + 5

olur.

g

birim fonksiyon olduğundan her girdi kendisiyle eşleşir.

2

Sabit fonksiyon tanımı kullanılarak doğrusal fonksiyon yalnız bırakılır.

f(x) = c

(sabit) alınırsa,

h(x) - c = 2x + 5 \implies h(x) = 2x + c + 5

olur.

f

sabit fonksiyon olduğundan her gerçel sayıyı aynı sabit

c

değerine götürür.

3

İkinci denklem kullanılarak sabit

c

değeri çözülür.

h(f(3)) = h(c) = 17

olur. Doğrusal fonksiyonda

x = c

yazılırsa,

2c + c + 5 = 17 \implies 3c = 12 \implies c = 4

bulunur.

f(3) = c

olduğundan bileşke işleminde içteki değer yerine yazılır.

4

Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değerler yerine yazılıp toplanır.

f(8) = 4

ve

h(1) = 2(1) + 9 = 11

olup

f(8) + h(1) = 4 + 11 = 15

elde edilir.

c = 4

değeri doğrultusunda fonksiyon kuralları

f(x) = 4

ve

h(x) = 2x + 9

olarak netleşir.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Tanımları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

birim fonksiyon,

g

sabit fonksiyon ve

h

doğrusal fonksiyondur. Her

x

gerçel sayısı için,

h(f(x)) - g(f(x)) = 2x - 3

h(g(x)) + f(g(x)) = 13

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $h(f(3)) + g(h(3))$ toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.

Soruda verilen tanımlara göre

f(x)=x

birim fonksiyon ve

g(x)=c

sabit fonksiyondur. İlk eşitlikte bu kurallar yerine yazıldığında

h(x) - c = 2x - 3 \implies h(x) = 2x - 3 + c

bulunur. İkinci eşitlikte

g(x) = c

yazılırsa

h(c) + f(c) = 13

elde edilir. Burada

f(c) = c

ve

h(c) = 3c - 3

yerine konulursa

4c - 3 = 13 \implies c = 4

olarak hesaplanır. Böylece

g(x) = 4

ve

h(x) = 2x + 1

kuralları bulunur. İstenen

h(f(3)) + g(h(3))

ifadesinde

f(3) = 3

ve

h(3) = 7

değerleri kullanılarak

h(3) + g(7) = 7 + 4 = 11

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birim ve sabit fonksiyonların genel kurallarını belirleme.

f(x) = x

ve

g(x) = c

(Burada

c

bir gerçel say��dır).

Birim fonksiyon her elemanı kendisine, sabit fonksiyon ise tüm elemanları aynı sabit değere eşler.

2

İlk denklemi kullanarak doğrusal

h(x)

fonksiyonunu

c

parametresine bağlı olarak ifade etme.

h(x) = 2x - 3 + c

h(f(x)) - g(f(x)) = 2x - 3

ifadesinde

f(x) = x

ve

g(f(x)) = c

yazıldığında

h(x) - c = 2x - 3

olur.

3

İkinci denklemi

c

sabitine bağlı olarak çözme.

c = 4

h(g(x)) + f(g(x)) = 13

denkleminde

g(x) = c

yazıldığında

h(c) + f(c) = 13

elde edilir. Buradan

(2c - 3 + c) + c = 13 \implies 4c - 3 = 13

denklemi çözül��r.

4

g(x)

ve

h(x)

fonksiyonlarının net kurallarını yazma.

g(x) = 4

ve

h(x) = 2x + 1

Bulunan

c = 4

sabiti ilgili fonksiyon kurallarında yerine yazılır.

5

İstenen

h(f(3)) + g(h(3))

ifadesini hesaplama.

11

f(3) = 3

olduğundan

h(f(3)) = h(3) = 7

olur.

h(3) = 7

olduğundan

g(h(3)) = g(7) = 4

olur. Toplamları

7 + 4 = 11

bulunur.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların cebirsel tanımları ve bileşke işlemleri altındaki davranışları

Soru 12Soru →

Bir kütüphaneye üye olan kişilerden aylık sabit bir üyelik ücreti alınmakta ve ödünç alınan her kitap için kitap başına sabit bir ücret ödenmektedir. Bu kütüphaneye üye olan bir kişinin bir ayda $x$ adet kitap ödünç alması durumunda ödeyeceği toplam tutar $f(x)$ fonksiyonu ile, kütüphanenin üyelerden aldığı aylık sabit üyelik ücreti ise $g(x)$ fonksiyonu ile modellenmiştir. $f(x)$ doğrusal fonksiyon ve $g(x)$ sabit fonksiyon olmak üzere, bu kütüphaneden bir ayda 4 kitap ödünç alan bir kişi 120 TL, 10 kitap ödünç alan bir kişi ise 210 TL ödemiştir. Buna göre, $f(g(5))$ değeri kaç TL'dir?

60

75

135

900

960

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $960$

Cevap

Ahmet'in ödeyeceği toplam tutarı ifade eden

f(g(5))

değeri 960 TL'dir.

Doğrusal fonksiyonun kuralı

f(x) = 15x + 60

ve kütüphanenin sabit ücretini temsil eden sabit fonksiyon

g(x) = 60

olarak bulunur. Bileşke fonksiyon işlem sırasına göre

f(g(5))

ifadesinde önce içteki

g(5)

değeri hesaplanır.

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(5) = 60

'tır. Ardından bu değer

f

fonksiyonunda yerine yazılarak

f(60) = 15 \cdot 60 + 60 = 960

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusal fonksiyon olan

f(x)

ve sabit fonksiyon olan

g(x)

için genel kuralları belirleme.

f(x) = ax + b

ve

g(x) = c

(

c

sabit bir sayı) şeklinde yazılır. Soruda

g(x)

aylık sabit ücret olarak tanımlandığı için

g(x) = b

olur.

Doğrusal ve sabit fonksiyonların matematiksel tanımlarını kurmak için.

2

Verilen değerleri kullanarak denklem sistemini kurma ve

a

ile

b

değerlerini bulma.

f(4) = 4a + b = 120

ve

f(10) = 10a + b = 210

denklemleri elde edilir. Denklemler birbirinden çıkarıldığında

6a = 90 \implies a = 15

bulunur. Buradan

4(15) + b = 120 \implies b = 60

elde edilir.

Kitap başına ücreti (

a

) ve sabit ücreti (

b

) hesaplamak için.

3

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarını yazıp istenen

f(g(5))

değerini hesaplama.

f(x) = 15x + 60

ve

g(x) = 60

olur.

g(x)

sabit fonksiyon olduğundan

g(5) = 60

olur. Buradan

f(g(5)) = f(60) = 15 \cdot 60 + 60 = 960

bulunur.

Bileşke fonksiyon işlem adımlarını sırasıyla uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Tanımları ve Bileşke Fonksiyon İşlemleri

Soru 13Soru →

Bir teknoloji firmasının Ar-Ge ve Pazarlama departmanlarındaki çalışan sayılarının zamana bağlı değişimi sırasıyla $f(t)$ doğrusal fonksiyonu ve $g(t)$ sabit fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu fonksiyonlarda $t$ , firmanın kurulmasından itibaren geçen süreyi yıl cinsinden göstermektedir.

Firmanın kurulduğu ilk yıl ( $t = 0$ ) Ar-Ge departmanında 12 çalışan bulunmakta ve bu departmandaki çalışan sayısı her yıl 4 kişi artmaktadır. Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı ise yıllara göre değişmemektedir.

Firma kurulduktan 6 yıl sonra iki departmandaki toplam çalışan sayısı, Pazarlama departmanındaki çalışan sayısının 3 katına eşit olduğuna göre, Pazarlama departmanında kaç çalışan vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı 18'dir.

Ar-Ge departmanı için doğrusal fonksiyon

f(t) = 4t + 12

şeklinde kurulur.

t = 6

için

f(6) = 36

bulunur. Pazarlama departmanı çalışan sayısı sabit fonksiyon

g(t) = c

olduğundan, toplam çalışan sayısı olan

36 + c

ifadesi

3c

değerine eşitlenir. Buradan

2c = 36 \implies c = 18

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ar-Ge departmanındaki çalışan sayısını zamana bağlı olarak veren doğrusal fonksiyonu yazma

f(t) = 4t + 12

Başlangıç değeri 12 ve her yılki artış miktarı 4 olduğu için doğrusal fonksiyon

f(t) = 4t + 12

olur.

2

Pazarlama departmanındaki çalışan sayısını sabit fonksiyon olarak tanımlama

g(t) = c

Pazarlama departmanındaki çalışan sayısı yıllara göre değişmediği için sabit fonksiyondur.

3

6. yıldaki Ar-Ge departmanı çalışan sayısını hesaplama

f(6) = 4 \times 6 + 12 = 36

t = 6

değeri doğrusal fonksiyonda yerine yazılır.

4

Toplam çalışan sayısı ile Pazarlama departmanı çalışan sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurma ve çözme

36 + c = 3c \implies 2c = 36 \implies c = 18

Toplam çalışan sayısının Pazarlama departmanının 3 katı olduğu bilgisi kullanılarak denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Doğrusal ve Sabit Fonksiyonların Modellenmesi

Soru 14Soru →

Her $x$ gerçel sayısı için tanımlı $f$ , $g$ ve $h$ fonksiyonlarından $f$ birim, $g$ sabit ve $h$ doğrusal fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için,

h(f(x)) + g(x) = 4x + 7

h(g(x)) = 13

eşitlikleri sağlandığına göre,

h(3) + g(10)

toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Yapılan hesaplamalar sonucunda

h(3) + g(10)

toplamı 19 olarak bulunmuştur.

Verilen tanımlara göre

f(x)=x

(birim),

g(x)=2

(sabit) ve

h(x)=4x+5

(doğrusal) olarak elde edilir. Buradan

h(3)=17

ve

g(10)=2

olup toplamları 19 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyon tanımlarını yazmak ve

h(f(x))

ifadesini sadeleştirmek

f(x) = x

,

g(x) = c

,

h(x) = kx + m

ve

h(f(x)) = h(x)

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların temel özelliklerini cebirsel olarak ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilmiştir.

2

İlk denklemde katsayıları eşitleyerek

k

değerini ve

m

ile

c

arasındaki ilişkiyi bulmak

k = 4

ve

m + c = 7

Fonksiyonların toplamının her

x

gerçel sayısı için

4x+7

ifadesine eşit olması bilgisinden yararlanılmıştır.

3

İkinci denklem yardımıyla iki bilinmeyenli bir sistem oluşturmak ve çözmek

c = 2

ve

m = 5

h(g(x)) = 13 \implies 4c + m = 13

denklemi ile

m + c = 7

denkleminin ortak çözülmesiyle sabit terimler bulunmuştur.

4

Belirlenen fonksiyonlar altında

h(3)

ve

g(10)

değerlerini bularak toplamak

17 + 2 = 19

Soruda bizden istenen

h(3) + g(10)

toplam değerine ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyon tanımları ile fonksiyonların bileşkesi ve cebirsel özellikleri

Soru 15Soru →

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

doğrusal fonksiyon ve

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

sabit fonksiyon olmak üzere, her

x

gerçel sayısı için

f(x + g(x)) = 2x + 5

f(g(x)) = g(f(x)) + 1

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(4) + g(-3)$ toplamının değeri kaçtır?

7

9

11

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9

f

doğrusal fonksiyon olduğundan

f(x) = ax + b

ve

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(x) = c

(

c

bir gerçel sayı) şeklinde yazılabilir. İlk eşitlikte

g(x)

yerine

c

yazıldığında

f(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b = 2x + 5

elde edilir. Buradan

a = 2

ve

2c + b = 5

bulunur. İkinci eşitlikte sabit fonksiyon özelliğinden dolayı

g(f(x)) = c

ve

f(g(x)) = f(c) = 2c + b

olur. Bu değerler eşitlikte yerine yazıldığında

2c + b = c + 1 \implies c + b = 1

elde edilir. Bu iki bilinmeyenli denklem sisteminden

c = 4

ve

b = -3

olarak bulunur. Dolayısıyla

f(x) = 2x - 3

ve

g(x) = 4

fonksiyonları elde edilir. Buradan

f(4) + g(-3) = 5 + 4 = 9

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

f

ve

g

fonksiyonlarının genel kurallarını belirleme

f(x) = ax + b

ve

g(x) = c

(

c

bir sabit sayı)

f

fonksiyonunun doğrusal,

g

fonksiyonunun ise sabit fonksiyon olduğu belirtilmiştir.

2

f(x + g(x)) = 2x + 5

eşitliğini kullanma

a = 2

ve

2c + b = 5

f(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b

ifadesinin

2x + 5

ifadesine eşitlenmesiyle katsayılar karşılaştırılır.

3

f(g(x)) = g(f(x)) + 1

eşitliğini kullanma

c + b = 1

g

sabit fonksiyon olduğundan

g(f(x)) = c

ve

f(g(x)) = f(c) = 2c + b

olur. Eşitlikten

2c + b = c + 1

elde edilir.

4

Elde edilen denklem sistemini çözme

c = 4

ve

b = -3

2c + b = 5

ve

c + b = 1

denklemleri taraf tarafa çıkarılarak

c

ve

b

değerleri bulunur.

5

İstenen toplam değerini hesaplama

f(4) + g(-3) = 9

f(x) = 2x - 3

ve

g(x) = 4

olduğundan

f(4) = 5

ve

g(-3) = 4

olur, toplamları

9

yapar.

Anahtar Kavram

Doğrusal ve sabit fonksiyonların cebirsel özellikleri ve bileşke işlemleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 16Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ birim, $g$ sabit ve $h$ doğrusal fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için,

h(x) - f(3x) = g(x) \cdot (x - 2)

eşitliği sağlanmaktadır.

-1 < h(1) \leq 9

olduğuna göre,

g(100)

değerinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

6

4

3

-6

-4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3

Doğru cevap 3'tür.

f(x)

birim fonksiyon olduğundan

f(3x) = 3x

ve

g(x)

sabit fonksiyon olduğundan

g(x) = c

olur. Eşitlikte yerlerine yazıldığında

h(x) = (3+c)x - 2c

doğrusal fonksiyonu elde edilir.

h(1) = 3-c

ifadesi

-1 < 3-c \leq 9

eşitsizliğinde yerine konulup çözüldüğünde

-6 \leq c < 4

aralığı elde edilir.

g(100) = c

olduğundan,

c

'nin bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Birim ve sabit fonksiyonların tanımlarını uygulayarak f(3x) ve g(x) ifadelerini belirleme.

f(3x) = 3x

ve

g(x) = c

(burada

c

bir gerçel sayı sabitidir).

Birim fonksiyon girdiyi aynen dışarı çıkarırken, sabit fonksiyon her girdiyi aynı sabite eşler.

2

Elde edilen ifadeleri verilen ana eşitlikte yerine yazarak h(x) fonksiyonunu bulma.

h(x) - 3x = c(x - 2) \implies h(x) = (3+c)x - 2c

doğrusal fonksiyonu elde edilir.

h(x) fonksiyonunu tek başına bırakarak c sabiti cinsinden kuralını belirlemek.

3

h(1) değerini hesaplama ve verilen eşitsizlikte yerine yazma.

h(1) = 3 - c

olur. Buradan

-1 < 3 - c \leq 9

eşitsizliği elde edilir.

c sabitinin değer aralığını bulmak için verilen eşitsizlik sınırlarını kullanmak.

4

Eşitsizliği çözerek c sabitinin sınırlarını belirleme.

-4 < -c \leq 6 \implies -6 \leq c < 4

elde edilir.

Negatif bir sayıya bölme/çarpma yapıldığından eşitsizliğin yönü değiştirilir.

5

g(100) değerini bulma ve bu değerin alabileceği en büyük tam sayı değerini belirleme.

g(100) = c

olduğundan,

[-6, 4)

aralığındaki en büyük tam sayı değeri 3'tür.

Sabit fonksiyonun her noktadaki değeri c olduğundan, c'nin en büyük tam sayı değeri cevabı verir.

Anahtar Kavram

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Özellikleri ile Eşitsizlik Çözümü

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar