Examkin

Soru

Zorluk: ZorBir Fonksiyonun Tersi
Tanım kümesi A=(−∞,a]A = (-\infty, a] ve değer kümesi B=[b,∞)B = [b, \infty) olmak üzere,
f:A→Bf: A \rightarrow B
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8
fonksiyonu bire bir ve örtendir.

aa sayısının alabileceği en büyük değer için, f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: -4

Cevap

İfadenin değeri -4'tür.
Parabolün tepe noktası r=3r = 3 olup fonksiyonun bire bir olmasını sağlayan en büyük aa değeri 33'tür. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−1f(3) = -1 olduğundan örtenlik şartı gereği b=−1b = -1 olur. f(x)=15f(x) = 15 denkleminin köklerinden (−∞,3](-\infty, 3] aralığında olanı x=−1x = -1 olduğundan f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 elde edilir. Bu değerler yerine konulduğunda sonuç −4-4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin sınırı olan a değerini belirlemek için parabolün tepe noktasını bulma
a=3a = 3
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun tanım kümesi (−∞,a](-\infty, a] olarak verilmiştir. İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının apsisi olan r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 değerini aşmamalıdır (a≤3a \le 3). Dolayısıyla aa'nın alabileceği en büyük değer 3'tür.
2
Değer kümesinin sınırı olan b değerini belirlemek için fonksiyonun görüntü kümesini bulma
b=−1b = -1
a=3a = 3 için fonksiyonun tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olur. Bu aralıkta fonksiyon azalandır ve en küç��k değerini tepe noktasında alır. f(3)=32−6(3)+8=−1f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = -1 olduğundan görüntü kümesi [−1,∞)[-1, \infty) olur. Fonksiyon örten olduğu için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır, buradan b=−1b = -1 bulunur.
3
f−1(15)f^{-1}(15) değerini bulmak için uygun kökü seçerek denklem çözme
f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1
f(x)=15  ⟹  x2−6x+8=15  ⟹  x2−6x−7=0  ⟹  (x−7)(x+1)=0f(x) = 15 \implies x^2 - 6x + 8 = 15 \implies x^2 - 6x - 7 = 0 \implies (x-7)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=7x = 7 ve x=−1x = -1'dir. Tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olduğundan sadece x=−1x = -1 bu kümeye aittir.
4
Bulunan değerleri ifadeye yerleştirip sonucu hesaplama
−4-4
f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinde a=3a = 3, b=−1b = -1 ve f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 değerleri yerine yazılarak −1+3⋅(−1)=−4-1 + 3 \cdot (-1) = -4 elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tepe noktasına göre tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması ve ters fonksiyon değerinin bu sınırlar içinde bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Bir Fonksiyonun Tersi

Bu konudan daha fazla soru