Examkin

Bir Fonksiyonun Tersi

18 soru

Tüm türler18Çoktan seçmeli9Sayısal9
Soru 1Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için

f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5
(f∘g)−1(x)=3x−1(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

g(2) değeri -2'dir.
Verilen (f∘g)−1(x)=3x−1(f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1 eşitliğinde ters fonksiyon tanımı kullanıldığında (f∘g)(3x−1)=x(f \circ g)(3x - 1) = x yani f(g(3x−1))=xf(g(3x - 1)) = x eşitliğine ulaşılır. f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 kuralı uygulandığında 2g(3x−1)+5=x2g(3x - 1) + 5 = x denklemi elde edilir. Buradan g(3x−1)=x−52g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2} bulunur. İstenen g(2)g(2) değerini elde etmek amacıyla parantez içini 2'ye eşitlemek için 3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1 seçilir. Sonuç olarak g(2)=1−52=−2g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon tanımını kullanarak bileşke fonksiyonun kendisini elde etme.
f(g(3x−1))=xf(g(3x - 1)) = x
Bir fonksiyonun tersi için h−1(x)=y  ⟺  h(y)=xh^{-1}(x) = y \iff h(y) = x kuralı geçerlidir.
2
f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5 kuralını bileşke ifadesinde yerine yazma.
2g(3x−1)+5=x2g(3x - 1) + 5 = x
f(g(3x−1))f(g(3x - 1)) ifadesini elde etmek için ff fonksiyonundaki girdi yerine g(3x−1)g(3x - 1) yazılır.
3
g(3x−1)g(3x - 1) ifadesini yalnız b��rakma.
g(3x−1)=x−52g(3x - 1) = \frac{x - 5}{2}
Eşitliğin her iki tarafından 5 çıkarılıp 2'ye bölünerek gg fonksiyonunun kuralına ulaşılır.
4
g(2)g(2) değerini hesaplamak için uygun xx değerini bulup yerine koyma.
3x−1=2  ⟹  x=13x - 1 = 2 \implies x = 1 için g(2)=1−52=−2g(2) = \frac{1 - 5}{2} = -2
Fonksiyonun girdisini 2 yapmak için gereken bağımsız değişken değeri belirlenir ve fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Tersi ve Değer Bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için
x=3⋅f(x)−52⋅f(x)+4x = \frac{3 \cdot f(x) - 5}{2 \cdot f(x) + 4}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f−1(x)f^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \mathbb{R} \setminus \{-2\}

Cevap

\mathbb{R} \setminus \{-2\}
Ters fonksiyon tanımı gereği, verilen bağıntıda xx yalnız bırakıldığı için f(x)f(x) yerine xx yazılmasıyla f−1(x)=3x−52x+4f^{-1}(x) = \frac{3x-5}{2x+4} elde edilir. Bu rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan x=−2x = -2 değeri tanım kümesinde olamayacağından, en geniş tanım kümesi R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) yerine yy yazılarak eşitlik düzenlenir.
x=3y−52y+4x = \frac{3y - 5}{2y + 4} elde edilir.
Değişken dönüşümü yaparak ters fonksiyon tanımını uygulamak kolaylaştırılır.
2
Ters fonksiyon tanımı olan f(y)=x  ⟺  f−1(x)=yf(y) = x \iff f^{-1}(x) = y ilişkisi kullanılır.
f−1(y)=3y−52y+4f^{-1}(y) = \frac{3y - 5}{2y + 4} olur. Değişken xx cinsinden yazılırsa f−1(x)=3x−52x+4f^{-1}(x) = \frac{3x - 5}{2x + 4} bulunur.
Eşitlikte xx yalnız bırakılmış olduğundan, doğrudan ters fonksiyonun kuralına geçiş yapılır.
3
Elde edilen rasyonel fonksiyonun paydayı sıfır yapan değeri bulunur ve reel sayılardan çıkarılır.
2x+4=0  ⟹  x=−22x + 4 = 0 \implies x = -2 olup en geniş tanım kümesi R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\} olarak bulunur.
Rasyonel ifadeler payda sıfır olduğunda tanımsızdır, bu yüzden bu nokta tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi
Soru 3Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu i��in
f(x)=ax+4bx−2f(x) = \frac{ax + 4}{bx - 2}
ve f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) eşitlikleri sağlanmaktadır.

f(3)=10f(3) = 10 olduğuna göre, f(a+b+1)f(a+b+1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f(a+b+1)f(a+b+1) değeri 66 olarak bulunur.
Verilen f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) koşulundan a=2a = 2 elde edilir. Ardından f(3)=10f(3) = 10 eşitliğinden b=1b = 1 bulunur. Son olarak f(a+b+1)=f(4)f(a+b+1) = f(4) değeri fonksiyonda yerine yazılarak 66 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun tersini bulup f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) eşitliğini kurmak
a=2a = 2
Bir rasyonel fonksiyonun kendisiyle tersinin eşit olabilmesi için paydaki xx'li terimin katsayısı ile paydadaki sabit terimin zıt işaretli ve eşit olması gerekir.
2
f(3)=10f(3) = 10 değerini fonksiyonda yerine yazarak bb değerini bulmak
b=1b = 1
Fonksiyonun tam kuralını elde etmek için bilinmeyen bb katsayısı bulunmalıdır.
3
İstenen f(a+b+1)f(a+b+1) ifadesini f(4)f(4) şeklinde yazıp hesaplamak
6
a=2a = 2 ve b=1b = 1 değerleri yerine yazıldığında aranan ifade f(4)f(4) olur ve f(4)=2(4)+44−2=6f(4) = \frac{2(4)+4}{4-2} = 6 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun tersi kendisine eşit olduğunda, paydaki xx'in katsayısı ile paydadaki sabit terim yer ve işaret değiştirerek birbirine eşitlenir.
Soru 4Soru →
f:R∖{2}→R∖{1}f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{1\} olmak üzere,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
g:(−∞,2]→[2,∞)g: (-\infty, 2] \rightarrow [2, \infty) olmak üzere,
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonlar�� tanımlanıyor. Bire bir ve örten olan bu fonksiyonlar yardımıyla h(x)=(f−1∘g)(x)h(x) = (f^{-1} \circ g)(x) fonksiyonu oluşturuluyor.

Buna göre, h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Bileşke fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak bulunur. Bu aralık, ters fonksiyonun en geniş tanım kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525 olarak hesaplanır.
Bileşke fonksiyonun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak elde edilir. Bu aralık, ters fonksiyonun tanım kümesidir ve bu kümedeki tam sayıların (3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7) toplamı 2525'tir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2} fonksiyonunun tersini bulalım.
f−1(x)=2x+3x−1f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{x-1} olur.
f(x)=ax+bcx+df(x) = \frac{ax+b}{cx+d} biçimindeki fonksiyonların tersi f−1(x)=−dx+bcx−af^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} kuralı ile elde edilir.
2
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun görüntü kümesini analiz edelim.
g(x)=(x−2)2+2g(x) = (x-2)^2 + 2 olup x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2] için görüntü kümesi [2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Tanım kümesindeki x≤2x \le 2 değerleri için (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 olacağından g(x)≥2g(x) \ge 2 elde edilir.
3
h(x)=f−1(g(x))h(x) = f^{-1}(g(x)) fonksiyonunun görüntü kümesini belirleyelim.
h(x)h(x) fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır.
g(x)≥2g(x) \ge 2 olduğuna g��re f−1(g(x))f^{-1}(g(x)) ifadesini incelemek için x≥2x \ge 2 iken f−1(x)=2+5x−1f^{-1}(x) = 2 + \frac{5}{x-1} ifadesinin değer aralığını bulmalıyız. x≥2  ⟹  x−1≥1  ⟹  0<1x−1≤1  ⟹  0<5x−1≤5  ⟹  2<2+5x−1≤7x \ge 2 \implies x-1 \ge 1 \implies 0 < \frac{1}{x-1} \le 1 \implies 0 < \frac{5}{x-1} \le 5 \implies 2 < 2 + \frac{5}{x-1} \le 7 elde edilir.
4
h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulalım.
Tam sayıların toplamı 3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 olur.
Bir fonksiyonun tersinin en geniş tanım kümesi, o fonksiyonun görüntü kümesine eşittir. Dolayısıyla h−1h^{-1} fonksiyonunun tanım kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi, kendisinin görüntü kümesine eşittir.
Soru 5Soru →

Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olan bire bir ve örten f:A→[1,∞)f: A \rightarrow [1, \infty) fonksiyonu

f(x)=x2−4x+13−2f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}

Cevap

2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Ters fonksiyon kuralını bulmak için y=f(x)y = f(x) denkleminde xx yalnız bırakılır. (x−2)2(x-2)^2 ifadesini yalnız bıraktıktan sonra her iki tarafın karekökü alınırken tanım kümesi kısıtı olan x≤2x \le 2 eşitsizliğine dikkat edilmelidir. x−2≤0x-2 \le 0 olduğu için karekökün sonucu −(x−2)-(x-2) olur. Buradan xx yalnız bırakıldığında doğru kural elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon kuralında karekökün içerisindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
x2−4x+13=x2−4x+4+9=(x−2)2+9x^2 - 4x + 13 = x^2 - 4x + 4 + 9 = (x - 2)^2 + 9 elde edilir. Böylece fonksiyon f(x)=(x−2)2+9−2f(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 şeklinde yazılabilir.
Fonksiyonda xx değişkenini yalnız b��rakabilmek için ifadeyi tam kare biçiminde yazmamız gerekir.
2
y=f(x)y = f(x) diyerek xx'i yy cinsinden yalnız bırakmaya çalışalım.
y=(x−2)2+9−2  ⟹  y+2=(x−2)2+9y = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 \implies y + 2 = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}
Ters fonksiyonu bulmanın temel adımı y=f(x)y = f(x) eşitliğinden x=f−1(y)x = f^{-1}(y) ilişkisini elde etmektir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım ve xx terimini yalnız bırakalım.
(y+2)2=(x−2)2+9  ⟹  (x−2)2=(y+2)2−9  ⟹  (x−2)2=y2+4y−5(y + 2)^2 = (x - 2)^2 + 9 \implies (x - 2)^2 = (y + 2)^2 - 9 \implies (x - 2)^2 = y^2 + 4y - 5
Karekök ifadesinden kurtulmak ve xx'in karesel terimini yalnız bırakmak için iki tarafın da karesi alınır.
4
Her iki tarafın karekökünü alırken tanım kümesi sınırını göz önünde bulunduralım.
Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olduğu için x≤2  ⟹  x−2≤0x \le 2 \implies x - 2 \le 0 olur. Dolayısıyla, (x−2)2=∣x−2∣=−(x−2)\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = -(x-2) olarak çıkar. Buradan −(x−2)=y2+4y−5  ⟹  x−2=−y2+4y−5-(x-2) = \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies x - 2 = -\sqrt{y^2 + 4y - 5} elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken, değişkenin tanım aralığına göre mutlak değerin işaretine dikkat edilmelidir.
5
xx'i tamamen yalnız bırakıp ters fonksiyon kuralını yazalım.
x=2−y2+4y−5  ⟹  f−1(x)=2−x2+4x−5x = 2 - \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Yalnız bırakılan xx değişkeni f−1(y)f^{-1}(y) ifadesine eşittir. Son adımda değişkenler yer değiştirilerek fonksiyonun tersinin kuralı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin bulunması ve tanım kümesi kısıtlamaları
Soru 6Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=2x+35f(x) = \frac{2x + 3}{5}
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f−1(3)f^{-1}(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6'dır.
f−1(3)=kf^{-1}(3) = k olsun. Ters fonksiyon tanımı gereği f(k)=3f(k) = 3 olmalıdır. Buradan 2k+35=3\frac{2k + 3}{5} = 3 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 2k+3=152k + 3 = 15 ve 2k=122k = 12 elde edilir, böylece k=6k = 6 olarak bulunur. Dolayısıyla f−1(3)f^{-1}(3) değeri 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(3)=kf^{-1}(3) = k eşitliğini yazarak fonksiyonun tersi tanımını uygulayın.
f(k)=3f(k) = 3 olur.
Bir fonksiyonun tersinin tanımı gereği, f−1(y)=xf^{-1}(y) = x ise f(x)=yf(x) = y olur.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralında xx yerine kk yazıp 33'e eşitleyin.
2k+35=3\frac{2k + 3}{5} = 3 denklemi elde edilir.
f(k)f(k) ifadesini oluşturmak için fonksiyonda değişken yerine kk yazılır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün.
2k+3=15  ⟹  2k=12  ⟹  k=62k + 3 = 15 \implies 2k = 12 \implies k = 6 bulunur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak ve bilinenler bir tarafa toplanarak bilinmeyen yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı (f(x)=y  ⟺  f−1(y)=xf(x) = y \iff f^{-1}(y) = x)
Tahmini Süre:45s
Soru 7Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,
f(x+3)=2x−1f(x + 3) = 2x - 1
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f−1(5)f^{-1}(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Aranan f^{-1}(5) değeri 6'dır.
Verilen f(x+3)=2x−1f(x + 3) = 2x - 1 eşitliğinde ters fonksiyon kuralı uygulandığında f−1(2x−1)=x+3f^{-1}(2x - 1) = x + 3 elde edilir. Bu ifadenin içinin 55 olması istendiğinden 2x−1=52x - 1 = 5 denklemi kurulur. Buradan x=3x = 3 bulunur. Bulunan xx değeri sağ taraftaki x+3x + 3 ifadesinde yerine yazıldığında f−1(5)=3+3=6f^{-1}(5) = 3 + 3 = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon ilişkisini kurarak denklem formunda ifade etmek.
f^{-1}(2x - 1) = x + 3 elde edilir.
f(a) = b ise f^{-1}(b) = a özelliğinden yararlanarak ters fonksiyonun kuralı değişken cinsinden yazılır.
2
Ters fonksiyonun içindeki ifadeyi aranan değer olan 5'e eşitleyerek x değişkenini bulmak.
2x - 1 = 5 denkleminden 2x = 6 ve x = 3 bulunur.
Ters fonksiyonun girdisinin 5 olmasını sağlayan uygun x değerinin belirlenmesi gerekir.
3
Bulunan x = 3 değerini ters fonksiyonun karşı tarafındaki x + 3 ifadesinde yerine yazmak.
f^{-1}(5) = 3 + 3 = 6 elde edilir.
Ters fonksiyonda x girdisinin tanım kümesindeki karşılığını hesaplamak için x değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersi alınırken tanım ve değer kümelerinin yer değiştirmesi ve f(a) = b ise f^{-1}(b) = a ilişkisi.
Soru 8Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için,
x=3f(x)+2f(x)−4x = \frac{3f(x) + 2}{f(x) - 4}
eşitliği veriliyor. Buna göre, f−1(5)f^{-1}(5) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Fonksiyonun tersinin tanımı gereği f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 olarak bulunur.
Verilen denklemde xx zaten f(x)f(x) cinsinden yalnız bırakılmıştır. f(x)=yf(x) = y dersek x=f−1(y)x = f^{-1}(y) olur. Dolayısıyla f−1(y)=3y+2y−4f^{-1}(y) = \frac{3y + 2}{y - 4} elde edilir. Buradan y=5y = 5 yazıldığında f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon tanımını uygulamak için f(x)=yf(x) = y değişken dönüşümü yapılır.
x=f−1(y)x = f^{-1}(y) eşitliği elde edilir ve verilen denklem x=3y+2y−4x = \frac{3y + 2}{y - 4} haline gelir.
Bir fonksiyonun tersi, bağımsız değişkeni (xx) bağımlı değişken (yy) cinsinden ifade eder.
2
Elde edilen f−1(y)=3y+2y−4f^{-1}(y) = \frac{3y + 2}{y - 4} ifadesinde yy yerine 5 yazılır.
f−1(5)=3(5)+25−4f^{-1}(5) = \frac{3(5) + 2}{5 - 4} işlemi kurulur.
İstenen f−1(5)f^{-1}(5) değerini hesaplamak için.
3
İşlemler tamamlanarak sonuç bulunur.
f−1(5)=17f^{-1}(5) = 17 elde edilir.
Toplama, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılması.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı: y=f(x)  ⟺  x=f−1(y)y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)
Soru 9Soru →
Bire bir ve örten ff fonksiyonu için,
f−1(2x+3)=x−1f^{-1}(2x + 3) = x - 1
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Ters fonksiyonların temel özelliği gereği f−1(A)=B  ⟺  f(B)=Af^{-1}(A) = B \iff f(B) = A bağıntısı vardır. Soruda verilen f−1(2x+3)=x−1f^{-1}(2x + 3) = x - 1 eşitliğine bu özellik uygulandığında f(x−1)=2x+3f(x - 1) = 2x + 3 elde edilir. f(3)f(3) değerini bulmak için fonksiyonun girdisi olan x−1x-1 ifadesi 3'e eşitlenir ve buradan x=4x = 4 bulunur. Son olarak, 2x+32x+3 ifadesinde xx yerine 4 yazıldığında f(3)=2(4)+3=11f(3) = 2(4)+3 = 11 sonucuna ulaşılır. Bu nedenle doğru cevap 11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyonun temel özelliğini (f−1(a)=b  ⟺  f(b)=af^{-1}(a) = b \iff f(b) = a) uygulayarak eşitliği düzenleyin.
f(x−1)=2x+3f(x - 1) = 2x + 3 eşitliği elde edilir.
Ters fonksiyondan orijinal fonksiyona geçiş yaparak f(3)f(3) değerini hesaplamayı kolaylaştırmak için.
2
İstenen f(3)f(3) ifadesini elde etmek için fonksiyonun içindeki x−1x - 1 ifadesini 3'e eşitleyin.
x−1=3  ⟹  x=4x - 1 = 3 \implies x = 4 bulunur.
Fonksiyonun girdisinin 3 olması için gereken xx değerini belirlemek için.
3
Bulunan x=4x = 4 değerini fonksiyonun kuralındaki çıkış ifadesinde (2x+32x + 3) yerine yazın.
f(3)=2(4)+3=11f(3) = 2(4) + 3 = 11 elde edilir.
f(3)f(3) değerinin sayısal karşılığını bulmak için.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyonun tanımı ve temel özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
Tanım kümesi A=(−∞,a]A = (-\infty, a] ve değer kümesi B=[b,∞)B = [b, \infty) olmak üzere,
f:A→Bf: A \rightarrow B
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8
fonksiyonu bire bir ve örtendir.

aa sayısının alabileceği en büyük değer için, f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İfadenin değeri -4'tür.
Parabolün tepe noktası r=3r = 3 olup fonksiyonun bire bir olmasını sağlayan en büyük aa değeri 33'tür. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−1f(3) = -1 olduğundan örtenlik şartı gereği b=−1b = -1 olur. f(x)=15f(x) = 15 denkleminin köklerinden (−∞,3](-\infty, 3] aralığında olanı x=−1x = -1 olduğundan f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 elde edilir. Bu değerler yerine konulduğunda sonuç −4-4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin sınırı olan a değerini belirlemek için parabolün tepe noktasını bulma
a=3a = 3
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun tanım kümesi (−∞,a](-\infty, a] olarak verilmiştir. İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir olabilmesi için tanım kümesi tepe noktasının apsisi olan r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 değerini aşmamalıdır (a≤3a \le 3). Dolayısıyla aa'nın alabileceği en büyük değer 3'tür.
2
Değer kümesinin sınırı olan b değerini belirlemek için fonksiyonun görüntü kümesini bulma
b=−1b = -1
a=3a = 3 için fonksiyonun tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olur. Bu aralıkta fonksiyon azalandır ve en küç��k değerini tepe noktasında alır. f(3)=32−6(3)+8=−1f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = -1 olduğundan görüntü kümesi [−1,∞)[-1, \infty) olur. Fonksiyon örten olduğu için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır, buradan b=−1b = -1 bulunur.
3
f−1(15)f^{-1}(15) değerini bulmak için uygun kökü seçerek denklem çözme
f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1
f(x)=15  ⟹  x2−6x+8=15  ⟹  x2−6x−7=0  ⟹  (x−7)(x+1)=0f(x) = 15 \implies x^2 - 6x + 8 = 15 \implies x^2 - 6x - 7 = 0 \implies (x-7)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=7x = 7 ve x=−1x = -1'dir. Tanım kümesi (−∞,3](-\infty, 3] olduğundan sadece x=−1x = -1 bu kümeye aittir.
4
Bulunan değerleri ifadeye yerleştirip sonucu hesaplama
−4-4
f−1(15)+a⋅bf^{-1}(15) + a \cdot b ifadesinde a=3a = 3, b=−1b = -1 ve f−1(15)=−1f^{-1}(15) = -1 değerleri yerine yazılarak −1+3⋅(−1)=−4-1 + 3 \cdot (-1) = -4 elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tepe noktasına göre tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması ve ters fonksiyon değerinin bu sınırlar içinde bulunması.
Soru 11Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5
(g−1∘f)−1(x)=2x+1x−3(g^{-1} \circ f)^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

g(2) değeri -20'dir.
Bileşke fonksiyonun tersi kuralı ve ters fonksiyon tanımı adım adım uygulandığında g(2)=f(−5)g(2) = f(-5) eşitliğine ulaşılır. f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 fonksiyonunda xx yerine −5-5 yazılarak doğru sonucun -20 olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tersi kuralını uygulayarak verilen ifadeyi sadeleştirin.
f−1(g(x))=2x+1x−3f^{-1}(g(x)) = \frac{2x + 1}{x - 3}
İki fonksiyonun bileşkesinin tersi alınırken fonksiyonların tersleri alınır ve işlem sırası tersine döner: (g−1∘f)−1(x)=(f−1∘(g−1)−1)(x)=(f−1∘g)(x)(g^{-1} \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ (g^{-1})^{-1})(x) = (f^{-1} \circ g)(x) olur.
2
Elde edilen eşitlikte x=2x = 2 yazarak f−1(g(2))f^{-1}(g(2)) değerini bulun.
f−1(g(2))=−5f^{-1}(g(2)) = -5
Bizden g(2)g(2) değeri istendiği için eşitliğin sağ tarafında xx yerine 22 yazılır: 2(2)+12−3=5−1=−5\frac{2(2) + 1}{2 - 3} = \frac{5}{-1} = -5 elde edilir.
3
Ters fonksiyon özelliğini kullanarak ifadeyi ff cinsinden yazın.
g(2)=f(−5)g(2) = f(-5)
Ters fonksiyon tanımı gereği f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y) = x \iff f(x) = y kuralı uygulanır.
4
Tanımlı f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5 fonksiyonunda xx yerine −5-5 yazarak sonucu hesaplayın.
g(2)=−20g(2) = -20
f(−5)=3(−5)−5=−15−5=−20f(-5) = 3(-5) - 5 = -15 - 5 = -20 olur, bu da g(2)g(2) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →
Bire bir ve örten f:R∖{a}→R∖{b}f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\} fonksiyonu
f(x)=4x+5x−3f(x) = \frac{4x + 5}{x - 3}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru cevap 7'dir.
Fonksiyonu tanımsız yapan x=3x = 3 değeri tanım kümesinden çıkarılan aa değeridir. Fonksiyonun tersi olan f−1(x)=3x+5x−4f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4} ifadesini tanımsız yapan x=4x = 4 değeri ise değer kümesinden çıkarılan bb değeridir. Buradan a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu tanımsız yapan xx değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.
x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3 ve dolayısıyla a=3a = 3 bulunur.
Fonksiyonun tanım kümesinde yer alamayacak değer, paydayı sıfır yapan değerdir.
2
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunun tersini buluruz.
f−1(x)=3x+5x−4f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4} elde edilir.
f(x)=px+qrx+sf(x) = \frac{px+q}{rx+s} tipindeki fonksiyonların tersi f−1(x)=−sx+qrx−pf^{-1}(x) = \frac{-sx+q}{rx-p} kuralı ile bulunur.
3
Ters fonksiyonu tanımsız yapan xx değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.
x−4=0  ⟹  x=4x - 4 = 0 \implies x = 4 ve dolayısıyla b=4b = 4 bulunur.
Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir. Bu yüzden f−1(x)f^{-1}(x) fonksiyonunu tanımsız yapan değer değer kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini toplarız.
a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 bulunur.
Bizden istenen a+ba + b toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun tersinin var olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →
Tanım kümesi A=[3,∞)A = [3, \infty) olan bire bir ve örten f:A→Bf: A \rightarrow B fonksiyonu
f(x)=x2−6x+14f(x) = x^2 - 6x + 14
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3+x−53 + \sqrt{x - 5}

Cevap

Ters fonksiyon 3+x−53 + \sqrt{x - 5} ifadesidir.
Fonksiyon f(x)=(x−3)2+5f(x) = (x-3)^2 + 5 biçiminde düzenlendikten sonra y=(x−3)2+5  ⟹  y−5=(x−3)2y = (x-3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x-3)^2 elde edilir. x≥3x \ge 3 kısıtlamasından dolayı her iki tarafın karekökü alındığında x−3=y−5x - 3 = \sqrt{y - 5} eşitliğinden x=3+y−5x = 3 + \sqrt{y - 5} bağıntısına ulaşılır. Değişkenler yer değiştirdiğinde ters fonksiyon formülü elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)f(x) fonksiyonunun ifadesini tam kare biçimine dönüştürelim.
f(x)=x2−6x+9+5=(x−3)2+5f(x) = x^2 - 6x + 9 + 5 = (x - 3)^2 + 5 elde edilir.
İkinci dereceden fonksiyonların tersini alabilmek için değişkeni tam kare yardım��yla yalnız bırakmak gerekir.
2
f(x)f(x) yerine yy yazarak xx değişkenini yalnız bırakma işlemlerine başlayalım.
y=(x−3)2+5  ⟹  y−5=(x−3)2y = (x - 3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x - 3)^2 olur.
Eşitliğin sağındaki sabit sayıyı karşıya geçirerek kareli terimi yalnız bırakırız.
3
Her iki tarafın karekökünü alalım ve tanım kümesi kısıtlamasına göre işareti belirleyelim.
y−5=∣x−3∣\sqrt{y - 5} = |x - 3| olur. Tanım kümesi A=[3,∞)A = [3, \infty) olduğundan x≥3  ⟹  x−3≥0x \ge 3 \implies x - 3 \ge 0'dır. Bu yüzden ∣x−3∣=x−3|x - 3| = x - 3 olarak çıkar. Buradan y−5=x−3  ⟹  x=3+y−5\sqrt{y - 5} = x - 3 \implies x = 3 + \sqrt{y - 5} elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işleminde, tanım kümesi kısıtlaması mutlak değerin işaretini belirlemek için kullanılır.
4
xx ile yy değişkenlerinin yerini değiştirerek ters fonksiyon formülünü yazalım.
f−1(x)=3+x−5f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 5} olarak bulunur.
Fonksiyonun tersini bağımsız değişken xx cinsinden ifade etmek için değişkenlerin isimlerini değiştiririz.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun tersini bulurken tanım kümesi sınırlarına dikkat edilerek tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 14Soru →
Bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f(3x−12)=g(2x+1)f\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = g(2x + 1)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, (g−1∘f)(4)(g^{-1} \circ f)(4) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İfadenin değeri 7'dir.
Verilen eşitlikte ff fonksiyonunun girdisini 4 yapmak için x=3x = 3 yazılması gerektiği belirlenir. Bu değer eşitliğin sağ tarafında yerine yazıldığında f(4)=g(7)f(4) = g(7) eşitliği elde edilir. Ters fonksiyon tanımı gereği, g(7)=f(4)g(7) = f(4) ise g−1(f(4))=7g^{-1}(f(4)) = 7 olur. Bu da bizden istenen (g−1∘f)(4)(g^{-1} \circ f)(4) ifadesinin değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke ve ters fonksiyon tanımını kullanarak istenen ifadeyi düzenleyin.
(g−1∘f)(4)=g−1(f(4))(g^{-1} \circ f)(4) = g^{-1}(f(4)) yazılır. Bu ifadenin değerini bulmak için f(4)f(4) değerinin hangi gg değerine eşit olduğunu bulmamız gerekir.
Bileşke fonksiyon işlemi d��ştan içe doğru çözümlenir ve ters fonksiyon özelliği kullanılır.
2
ff fonksiyonunun girdisini 4 yapan xx değerini bulun.
3x−12=4  ⟹  3x−1=8  ⟹  3x=9  ⟹  x=3\frac{3x - 1}{2} = 4 \implies 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3 bulunur.
f(4)f(4) değerini elde edebilmek için verilen eşitlikte ff fonksiyonunun parantez içindeki ifadesini 4'e eşitlememiz gerekir.
3
Bulunan x=3x = 3 değerini ana eşitlikte yerine yazın.
f(3(3)−12)=g(2(3)+1)  ⟹  f(4)=g(7)f\left(\frac{3(3) - 1}{2}\right) = g(2(3) + 1) \implies f(4) = g(7) elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafında aynı xx değerini yazarak f(4)f(4) ile gg fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kurarız.
4
Ters fonksiyon özelliğini uygulayarak sonucu bulun.
f(4)=g(7)  ⟹  g−1(f(4))=7f(4) = g(7) \implies g^{-1}(f(4)) = 7 olur. Dolayısıyla (g−1∘f)(4)=7(g^{-1} \circ f)(4) = 7'dir.
g(a)=b  ⟺  g−1(b)=ag(a) = b \iff g^{-1}(b) = a temel kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki ilişkiyi (g(a)=b  ⟺  g−1(b)=ag(a) = b \iff g^{-1}(b) = a) ve bileşke fonksiyonun özelliklerini kullanma.
Soru 15Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, bire bir ve örten f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu

f(x)={2x+6,x<1x2+7,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 6, & x < 1 \\ x^2 + 7, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f−1(11)+f−1(2)f^{-1}(11) + f^{-1}(2) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

0
Verilen parçalı fonksiyonun kısımları incelendiğinde, x<1x < 1 için görüntü kümesi (−∞,8)(-\infty, 8) ve x≥1x \geq 1 için görüntü kümesi [8,∞)[8, \infty) aralığıdır. f−1(11)f^{-1}(11) değeri için görüntü 1111 olup 11≥811 \geq 8 olduğundan ikinci parça kullanılır ve x2+7=11  ⟹  x=2x^2 + 7 = 11 \implies x = 2 elde edilir. f−1(2)f^{-1}(2) değeri için ise görüntü 22 olup 2<82 < 8 olduğundan birinci parça kullanılır ve 2x+6=2  ⟹  x=−22x + 6 = 2 \implies x = -2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 2+(−2)=02 + (-2) = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f−1(11)f^{-1}(11) değerini hesaplamak için f(x)=11f(x) = 11 denklemini çözelim.
f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2
Fonksiyonun parçalarını incelediğimizde, x<1x < 1 için f(x)<8f(x) < 8 ve x≥1x \geq 1 için f(x)≥8f(x) \geq 8 değerleri elde edilir. 11≥811 \geq 8 olduğundan, x≥1x \geq 1 için tanımlı olan x2+7=11x^2 + 7 = 11 denklemi çözülmelidir. Buradan x2=4x^2 = 4 elde edilir. x≥1x \geq 1 şartını sağlayan kök x=2x = 2 olduğundan f−1(11)=2f^{-1}(11) = 2 bulunur.
2
f−1(2)f^{-1}(2) değerini hesaplamak için f(x)=2f(x) = 2 denklemini çözelim.
f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2
2<82 < 8 olduğundan, x<1x < 1 için tan��mlı olan 2x+6=22x + 6 = 2 denklemi çözülmelidir. Buradan 2x=−4  ⟹  x=−22x = -4 \implies x = -2 bulunur. Bu değer x<1x < 1 şartını sağladığı için f−1(2)=−2f^{-1}(2) = -2 olur.
3
Elde edilen ters fonksiyon değerlerini toplayalım.
0
f−1(11)+f−1(2)=2+(−2)=0f^{-1}(11) + f^{-1}(2) = 2 + (-2) = 0 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda ters fonksiyon değeri bulurken ilgili aralıkların ve tanım kümelerinin kontrol edilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
Dik koordinat düzleminde, uygun aralıklarda tanımlı bire bir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f−1(2x−1)=g(x+2)f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2)
eşitliği sağlanmaktadır.

g(3)=5g(3) = 5 olduğuna göre, f(5)f(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f−1(2x−1)=g(x+2)f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2) denkleminde her iki tarafın ff altındaki görüntüsü alındığında 2x−1=f(g(x+2))2x - 1 = f(g(x + 2)) elde edilir. g(3)=5g(3) = 5 olduğundan, f(5)f(5) değerine ulaşmak için g(x+2)=5g(x + 2) = 5 olmalıdır. Buradan x+2=3  ⟹  x=1x + 2 = 3 \implies x = 1 bulunur. Bulunan x=1x = 1 değeri denklemde yerine yazıldığında 2(1)−1=f(g(3))  ⟹  1=f(5)2(1) - 1 = f(g(3)) \implies 1 = f(5) sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonu normal forma getirme.
f−1(2x−1)=g(x+2)  ⟹  2x−1=f(g(x+2))f^{-1}(2x - 1) = g(x + 2) \implies 2x - 1 = f(g(x + 2))
f−1(A)=B  ⟺  f(B)=Af^{-1}(A) = B \iff f(B) = A özelliğinden dolayı.
2
İstenen f(5)f(5) değerini bulmak için eşitlikteki iç fonksiyonun argümanını belirleme.
g(x+2)=5g(x + 2) = 5 olmalıdır.
f(g(x+2))f(g(x + 2)) ifadesini f(5)f(5) haline getirmek için.
3
Verilen g(3)=5g(3) = 5 eşitliğini kullanarak xx değişkeninin değerini bulma.
x+2=3  ⟹  x=1x + 2 = 3 \implies x = 1
g(x+2)=g(3)g(x + 2) = g(3) eşitliğini sağlamak için.
4
x=1x = 1 değerini ana denklemde yerine yazarak sonucu elde etme.
2(1)−1=f(g(1+2))  ⟹  1=f(g(3))  ⟹  f(5)=12(1) - 1 = f(g(1 + 2)) \implies 1 = f(g(3)) \implies f(5) = 1
g(3)=5g(3) = 5 olarak verildiği için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı ve ters fonksiyon ile düz fonksiyon arasındaki ilişki.
Soru 17Soru →
Tanımlı olduğu uygun aralıkta bire bir ve örten bir ff fonksiyonu için
f(2x+3x−1)=3x−2f\left(\frac{2x+3}{x-1}\right) = 3x - 2
olduğuna göre, f−1(7)f^{-1}(7) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Ters fonksiyon tanımı gereği, f−1(7)f^{-1}(7) değeri 4.54.5 (veya 92\frac{9}{2}) olarak bulunur.
Ters fonksiyon tanımı gereği f−1(7)=a  ⟺  f(a)=7f^{-1}(7) = a \iff f(a) = 7 olur. Fonksiyonun değerini 7 yapan xx sayısı 3'tür. x=3x = 3 için tanım kümesindeki eleman 2(3)+33−1=4.5\frac{2(3)+3}{3-1} = 4.5 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyon tanımını uygulamak.
f−1(7)=a  ⟹  f(a)=7f^{-1}(7) = a \implies f(a) = 7 ilişkisi kurulur.
Fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki girdi-çıktı ilişkisini kullanarak çözüme başlamak işlemi kolaylaştırır.
2
Verilen fonksiyonda çıktıyı 7 yapan x değerini bulmak.
3x−2=7  ⟹  x=33x - 2 = 7 \implies x = 3 elde edilir.
Fonksiyonun çıktısının 7 olmasını sağlayan girdi değişkeninin değerini belirlemek için denklem çözülür.
3
Bulunan x değerini fonksiyonun tanım kümesindeki (içindeki) ifadede yerine yazmak.
a=2(3)+33−1=4.5a = \frac{2(3)+3}{3-1} = 4.5 elde edilir.
f(a)=7f(a) = 7 eşitliğini sağlayan aa değerini doğrudan hesaplamak için x değeri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanımı ve girdi-çıktı ilişkisi
Soru 18Soru →
[2,∞)→[3,∞)[2, \infty) \rightarrow [3, \infty)
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7

fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, bu fonksiyonun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2+x−32 + \sqrt{x-3}

Cevap

2+x−32 + \sqrt{x-3}
Verilen fonksiyonun tanım kümesi [2,∞)[2, \infty) olduğu için x≥2x \ge 2 olup x−2≥0x - 2 \ge 0 koşulu sağlanır. Eşitliğin her iki tarafının karekökü alındığında y−3=x−2\sqrt{y-3} = x-2 elde edilir. Buradan xx yalnız bırakılarak 2+x−32 + \sqrt{x-3} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun kuralını tam kare şeklinde ifade edelim.
f(x)=x2−4x+4+3=(x−2)2+3f(x) = x^2 - 4x + 4 + 3 = (x-2)^2 + 3
İkinci dereceden fonksiyonlarda de��işkeni yalnız bırakabilmek için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.
2
y=f(x)y = f(x) eşitliğini kurup xx'i yalnız bırakmaya çalışalım.
y=(x−2)2+3  ⟹  y−3=(x−2)2y = (x-2)^2 + 3 \implies y - 3 = (x-2)^2
Ters fonksiyonu bulmak için bağımlı ve bağımsız değişkenlerin yerini değiştirmek üzere xx'i yy cinsinden ifade etmeliyiz.
3
Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alalım.
y−3=∣x−2∣\sqrt{y - 3} = |x - 2|
Kareli bir ifadenin kökü alınırken mutlak değer sembolü kullanılarak ifadenin işareti kontrol edilmelidir.
4
Tanım kümesi bilgisini kullanarak mutlak değerli ifadeyi dışarı çıkaralım.
x≥2  ⟹  x−2≥0  ⟹  ∣x−2∣=x−2  ⟹  y−3=x−2x \ge 2 \implies x - 2 \ge 0 \implies |x - 2| = x - 2 \implies \sqrt{y - 3} = x - 2
Fonksiyonun tanım kümesi [2,∞)[2, \infty) olarak verildiğinden x−2x - 2 ifadesi negatif olamaz ve mutlak değer dışına aynen çıkar.
5
xx'i yalnız bırakıp değişkenlerin yerini değiştirelim.
x=2+y−3  ⟹  f−1(x)=2+x−3x = 2 + \sqrt{y - 3} \implies f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}
Yalnız bırakılan xx değişkeni ters fonksiyonu temsil eder; son adımda yy yerine xx yazarak genel gösterimi elde ederiz.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonlarda uygun tanım aralığında ters fonksiyon bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Bir Fonksiyonun Tersi Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin