Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBir Fonksiyonun Tersi

Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olan bire bir ve örten f:A→[1,∞)f: A \rightarrow [1, \infty) fonksiyonu

f(x)=x2−4x+13−2f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun tersi olan f−1(x)f^{-1}(x) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2+x2+4x−52 + \sqrt{x^2 + 4x - 5}
  2. B
    2−x2−4x−52 - \sqrt{x^2 - 4x - 5}
  3. 2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}Cevap
  4. D
    2−x2+4x+132 - \sqrt{x^2 + 4x + 13}
  5. E
    2+x2−4x−52 + \sqrt{x^2 - 4x - 5}

Cevap

2−x2+4x−52 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Ters fonksiyon kuralını bulmak için y=f(x)y = f(x) denkleminde xx yalnız bırakılır. (x−2)2(x-2)^2 ifadesini yalnız bıraktıktan sonra her iki tarafın karekökü alınırken tanım kümesi kısıtı olan x≤2x \le 2 eşitsizliğine dikkat edilmelidir. x−2≤0x-2 \le 0 olduğu için karekökün sonucu −(x−2)-(x-2) olur. Buradan xx yalnız bırakıldığında doğru kural elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon kuralında karekökün içerisindeki ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
x2−4x+13=x2−4x+4+9=(x−2)2+9x^2 - 4x + 13 = x^2 - 4x + 4 + 9 = (x - 2)^2 + 9 elde edilir. Böylece fonksiyon f(x)=(x−2)2+9−2f(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 şeklinde yazılabilir.
Fonksiyonda xx değişkenini yalnız b��rakabilmek için ifadeyi tam kare biçiminde yazmamız gerekir.
2
y=f(x)y = f(x) diyerek xx'i yy cinsinden yalnız bırakmaya çalışalım.
y=(x−2)2+9−2  ⟹  y+2=(x−2)2+9y = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} - 2 \implies y + 2 = \sqrt{(x - 2)^2 + 9}
Ters fonksiyonu bulmanın temel adımı y=f(x)y = f(x) eşitliğinden x=f−1(y)x = f^{-1}(y) ilişkisini elde etmektir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım ve xx terimini yalnız bırakalım.
(y+2)2=(x−2)2+9  ⟹  (x−2)2=(y+2)2−9  ⟹  (x−2)2=y2+4y−5(y + 2)^2 = (x - 2)^2 + 9 \implies (x - 2)^2 = (y + 2)^2 - 9 \implies (x - 2)^2 = y^2 + 4y - 5
Karekök ifadesinden kurtulmak ve xx'in karesel terimini yalnız bırakmak için iki tarafın da karesi alınır.
4
Her iki tarafın karekökünü alırken tanım kümesi sınırını göz önünde bulunduralım.
Tanım kümesi A=(−∞,2]A = (-\infty, 2] olduğu için x≤2  ⟹  x−2≤0x \le 2 \implies x - 2 \le 0 olur. Dolayısıyla, (x−2)2=∣x−2∣=−(x−2)\sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = -(x-2) olarak çıkar. Buradan −(x−2)=y2+4y−5  ⟹  x−2=−y2+4y−5-(x-2) = \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies x - 2 = -\sqrt{y^2 + 4y - 5} elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemi yapılırken, değişkenin tanım aralığına göre mutlak değerin işaretine dikkat edilmelidir.
5
xx'i tamamen yalnız bırakıp ters fonksiyon kuralını yazalım.
x=2−y2+4y−5  ⟹  f−1(x)=2−x2+4x−5x = 2 - \sqrt{y^2 + 4y - 5} \implies f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x^2 + 4x - 5}
Yalnız bırakılan xx değişkeni f−1(y)f^{-1}(y) ifadesine eşittir. Son adımda değişkenler yer değiştirilerek fonksiyonun tersinin kuralı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin bulunması ve tanım kümesi kısıtlamaları
Bu soruyu puanla

Konular

Bir Fonksiyonun Tersi

Bu konudan daha fazla soru