Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBir Fonksiyonun Tersi
f:R∖{2}→R∖{1}f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{1\} olmak üzere,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
g:(−∞,2]→[2,∞)g: (-\infty, 2] \rightarrow [2, \infty) olmak üzere,
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonlar�� tanımlanıyor. Bire bir ve örten olan bu fonksiyonlar yardımıyla h(x)=(f−1∘g)(x)h(x) = (f^{-1} \circ g)(x) fonksiyonu oluşturuluyor.

Buna göre, h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 25

Cevap

Bileşke fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak bulunur. Bu aralık, ters fonksiyonun en geniş tanım kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525 olarak hesaplanır.
Bileşke fonksiyonun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığı olarak elde edilir. Bu aralık, ters fonksiyonun tanım kümesidir ve bu kümedeki tam sayıların (3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7) toplamı 2525'tir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2} fonksiyonunun tersini bulalım.
f−1(x)=2x+3x−1f^{-1}(x) = \frac{2x+3}{x-1} olur.
f(x)=ax+bcx+df(x) = \frac{ax+b}{cx+d} biçimindeki fonksiyonların tersi f−1(x)=−dx+bcx−af^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} kuralı ile elde edilir.
2
g(x)=x2−4x+6g(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun görüntü kümesini analiz edelim.
g(x)=(x−2)2+2g(x) = (x-2)^2 + 2 olup x∈(−∞,2]x \in (-\infty, 2] için görüntü kümesi [2,∞)[2, \infty) aralığıdır.
Tanım kümesindeki x≤2x \le 2 değerleri için (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0 olacağından g(x)≥2g(x) \ge 2 elde edilir.
3
h(x)=f−1(g(x))h(x) = f^{-1}(g(x)) fonksiyonunun görüntü kümesini belirleyelim.
h(x)h(x) fonksiyonunun görüntü kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır.
g(x)≥2g(x) \ge 2 olduğuna g��re f−1(g(x))f^{-1}(g(x)) ifadesini incelemek için x≥2x \ge 2 iken f−1(x)=2+5x−1f^{-1}(x) = 2 + \frac{5}{x-1} ifadesinin değer aralığını bulmalıyız. x≥2  ⟹  x−1≥1  ⟹  0<1x−1≤1  ⟹  0<5x−1≤5  ⟹  2<2+5x−1≤7x \ge 2 \implies x-1 \ge 1 \implies 0 < \frac{1}{x-1} \le 1 \implies 0 < \frac{5}{x-1} \le 5 \implies 2 < 2 + \frac{5}{x-1} \le 7 elde edilir.
4
h−1(x)h^{-1}(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamını bulalım.
Tam sayıların toplamı 3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 olur.
Bir fonksiyonun tersinin en geniş tanım kümesi, o fonksiyonun görüntü kümesine eşittir. Dolayısıyla h−1h^{-1} fonksiyonunun tanım kümesi (2,7](2, 7] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,4,5,6,73, 4, 5, 6, 7 olup toplamları 2525'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinin tanım kümesi, kendisinin görüntü kümesine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Bir Fonksiyonun Tersi

Bu konudan daha fazla soru