Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi
Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı f(x)=9−x2+1x2−1f(x) = \sqrt{9 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamının 00 olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 0'dır, dolayısıyla ifade doğrudur.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi [−3,−1)∪(1,3][-3, -1) \cup (1, 3] olarak bulunur ve bu aralıktaki tam sayıların (−3,−2,2,3-3, -2, 2, 3) toplamı gerçekten de 00 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan 9−x2\sqrt{9 - x^2} ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.
9−x2≥0  ⟹  x2≤9  ⟹  −3≤x≤39 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci terim olan 1x2−1\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.
x2−1>0  ⟹  x2>1  ⟹  x>1x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1 veya x<−1x < -1
Köklü ifadenin çift dereceli olması nedeniyle kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır; ancak ifade paydada yer aldığı için payda sıfır olamaz, bu yüzden kök içi kesinlikle sıfırdan büyük olmalıdır.
3
İki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini bularak fonksiyonun en geniş tanım kümesini elde etmek.
Tanım Kümesi = [−3,−1)∪(1,3][-3, -1) \cup (1, 3]
Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: −3,−2,2,3-3, -2, 2, 3. Toplam: (−3)+(−2)+2+3=0(-3) + (-2) + 2 + 3 = 0.
Bulunan tanım aralıklarındaki tam sayı değerleri toplanarak iddiadaki değer ile karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunurken rasyonel ifadelerin paydasını sıfır yapan değerler kapsam dışı bırakılır ve çift dereceden köklü ifadelerin içerisindeki değerlerin sıfırdan büyük veya eşit olması sağlanır.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

Bu konudan daha fazla soru