Examkin

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli12Doğru / Yanlış5Sayısal7
Soru 1Soru →

Aşağıda tanım ve de��er kümeleri ile kuralları verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: s:Z→Zs: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, s(x)=2x−3s(x) = 2x - 3

Cevap

s:Z→Zs: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, s(x)=2x−3s(x) = 2x - 3 bağıntısı
s:Z→Zs: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, s(x)=2x−3s(x) = 2x - 3 bağıntısında tanım kümesindeki her xx tam sayısı için 2x−32x-3 değeri de her zaman bir tam sayı (yani değer kümesinin elemanı) olur. Ayrıca her elemanın yalnızca bir görüntüsü olduğu için bu bağıntı bir fonksiyon belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon olma şartlarının belirlenmesi
Bir bağıntının fonksiyon belirtebilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalı ve tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
Fonksiyon tanımının temel kurallarını uygulamak için.
2
Bağıntıların kurallarının ve sayı kümelerinin incelenmesi
Seçeneklerdeki sayı kümeleri (N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, R\mathbb{R}, R+\mathbb{R}^+) dikkate alınarak her bağıntının elemanları eşleyip eşlemediği kontrol edilir.
Sayı kümelerinin özelliklerinin (örneğin doğal sayıların 0'dan başlaması, tam sayıların küsuratlı olmaması vb.) fonksiyon kuralına etkisini belirlemek için.
3
Doğru seçeneğin doğrulanması
s(x)=2x−3s(x) = 2x - 3 kuralı her xx tam sayısı için benzersiz bir 2x−32x-3 tam sayısı üretir. Dolayısıyla s:Z→Zs: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} bağıntısı bir fonksiyondur.
Tanım kümesindeki hiçbir elemanın açıkta kalmadığını ve her elemanın tek bir tam sayıya gittiğini göstermek için.

Anahtar Kavram

Fonksiyon Olma Şartları ve Tanım Kümesi İlişkisi
Soru 2Soru →
Gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesi üzerinde tanımlı olan
f(x)=x2−2x−8x2−9+5−∣x∣f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9}} + \sqrt{5 - |x|}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

En geniş tanım kümesinde 9 farklı tam sayı de��eri vardır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, köklü ifadelerin içlerinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşullarını sağlayan [−5,−3)∪[−2,3)∪[4,5][-5, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, 5] kümesidir. Bu kümedeki tam sayılar {−5,−4,−2,−1,0,1,2,4,5}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5\} olup toplamda 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Köklerin tanımlı olma şartlarının belirlenmesi
x2−2x−8x2−9≥0\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \geq 0 ve 5−∣x∣≥05 - |x| \geq 0 eşitsizlik sisteminin elde edilmesi.
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içinin negatif olmaması ve rasyonel ifadelerin paydasının sıfır olmaması şartını uygulamak gerekir.
2
Rasyonel ifadenin eşitsizliğinin çözülmesi
Rasyonel ifadenin tanım aralığının T1=(−∞,−3)∪[−2,3)∪[4,∞)T_1 = (-\infty, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, \infty) olarak bulunması.
İşaret tablosu yardımıyla rasyonel ifadenin işaret değişimlerini incelemek ve paydayı sıfır yapan noktaları hariç tutarak payı sıfır yapan noktaları dahil etmek.
3
Mutlak değerli kök ifadesinin eşitsizliğinin çözülmesi
İkinci ifadenin tanım aralığının T2=[−5,5]T_2 = [-5, 5] olarak bulunması.
∣x∣≤5|x| \leq 5 eşitsizliğini gerçek sayılarda çözerek sınırları belirlemek.
4
İki tanım kümesinin kesişiminin alınması ve tam sayıların sayılması
En geniş tanım kümesinin [−5,−3)∪[−2,3)∪[4,5][-5, -3) \cup [-2, 3) \cup [4, 5] olarak bulunması ve bu kümedeki tam sayıların {−5,−4,−2,−1,0,1,2,4,5}\{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5\} olmak üzere 9 adet olarak hesaplanması.
Fonksiyonun her iki bileşeninin de aynı anda tanımlı olduğu ortak tanım kümesini bulmak ve bu kümedeki tam sayıları belirlemek.

Anahtar Kavram

Fonksiyon kavramı ve en geniş tanım kümesinin bulunması için rasyonel, köklü ve mutlak değerli ifadelerin eşitsizlik çözümlerinin kesişiminin alınması.
Soru 3Soru →
f(x)=x−4+2x−6f(x) = \sqrt{x - 4} + \frac{2}{x - 6}

fonksiyonunu gerçek sayılarda tanımlı kılan en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\}

Cevap

Dört kapalı, sonsuz açık aralığından altı elemanının çıkarılmasıyla elde edilen küme ([4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\})
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de tanımlı olması gerekir. Kareköklü terim için x≥4x \geq 4 olmalı, rasyonel terim için ise x≠6x \neq 6 olmalıdır. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde en geniş tanım kümesi, dört kapalı sonsuz açık aralığından altı elemanının çıkarılmasıyla elde edilen küme olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması koşulu incelenir.
x−4≥0⇒x≥4x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4
Derecesi çift olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
2
Rasyonel ifadenin tanımlı olması için paydayı sıfır yapan değer belirlenir ve bu değer tanım kümesinden hariç tutulur.
x−6≠0⇒x≠6x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6
Paydası sıfır olan rasyonel ifadeler tanımsızdır.
3
Elde edilen iki koşul birleştirilerek en geniş tanım kümesi oluşturulur.
[4,∞)∖{6}[4, \infty) \setminus \{6\}
Fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması gerekir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlerin en geniş tanım kümesini bulmak için çift dereceli köklerin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadelerin paydalarının sıfırdan farklı olması koşulları bir arada uygulanır.
Soru 4Soru →

Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=2x−1x2−ax+16f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - ax + 16}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olduğuna göre, pozitif aa gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Pozitif aa değeri 8'dir.
Rasyonel ifadenin en geniş tanım kümesinin R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olması için paydadaki ifadenin tam kare olması gerekir. Bu da diskriminantın sıfır olması anlamına gelir. Δ=a2−64=0\Delta = a^2 - 64 = 0 denkleminden pozitif aa değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin tanımsızlık şartını belirleme
Payda olan x2−ax+16x^2 - ax + 16 ifadesini sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydaları sıfır olduğunda tanımsız olurlar.
2
Tanım kümesindeki tekil tanımsız elemanı yorumlama
Paydanın yalnızca bir tane gerçek kökü vardır. Bu kök x=bx = b değeridir.
En geniş tanım kümesi R−{b}\mathbb{R} - \{b\} olarak verilmiştir, bu da paydayı sıfır yapan yalnızca bir gerçek sayı olduğunu gösterir.
3
İkinci dereceden denklemin diskriminantını sıfıra eşitleme
Δ=(−a)2−4⋅1⋅16=0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0 eşitliğinden a2−64=0a^2 - 64 = 0 bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin tek kökünün olması için diskriminantının sıfıra eşit olması gerekir.
4
Pozitif aa değerini seçme
a=8a = 8 elde edilir.
Eşitlikten a=8a = 8 veya a=−8a = -8 gelir, bizden pozitif değer istendiği için 88 seçilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların paydasını sıfır yapan değerlerin tanım kümesinden çıkarılması ve tek kök durumunun diskriminant ile ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 5Soru →

f:Z+→Zf: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere, f(x)=2x−3x−1f(x) = \frac{2x - 3}{x - 1} bağıntısı bir fonksiyondur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Tanım kümesinde bulunan x=1x = 1 elemanı için bağıntı tanımsızdır ve tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon belirtmez.
Verilen bağıntıda tanım kümesinde yer alan x=1x = 1 elemanı için payda sıfır olmakta ve tanımsızlık oluşmaktadır. Tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü bulunmadığı için bağıntı fonksiyon belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım ve değer kümelerini belirleyin.
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi (Z+={1,2,3,… }\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}), değer kümesi ise tam sayılar kümesidir (Z\mathbb{Z}).
Bağıntının fonksiyon olup olmadığını incelemek için öncelikle tanım kümesindeki elemanların durumunu belirlemek gerekir.
2
Rasyonel ifadeyi tanımsız yapan değerleri tespit edin.
Paydayı sıfır yapan değer x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1 değeridir.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade gerçek sayılarda tanımsız olur.
3
Tanımsız yapan değerin tanım kümesinde bulunup bulunmadığını ve fonksiyon şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=1x = 1 değeri tanım kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanıdır. Bu eleman için bağıntı tanımsız olduğundan değer kümesinde bir görüntüsü yoktur. Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığından bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
Fonksiyon olma şartına göre tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde mutlaka bir ve yalnız bir görüntüsü bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon Olma Şartı ve Tanım Kümesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 6Soru →
Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=a−∣x−2∣+∣x−2∣−bf(x) = \sqrt{a - |x - 2|} + \sqrt{|x - 2| - b}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Tanım kümesinin [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olarak verilmesi, köklerin tanımlı olma şartından gelen b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a] ifadesiyle örtüşmektedir. Buradan 2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4 ve 2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1 elde edilir. Bu değerler diğer sınırları da (2+1=32 + 1 = 3 ve 2+4=62 + 4 = 6) sağladığından tutarlıdır. Dolayısıyla a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği kuralını uygulayın.
a−∣x−2∣≥0  ⟹  ∣x−2∣≤aa - |x - 2| \geq 0 \implies |x - 2| \leq a ve ∣x−2∣−b≥0  ⟹  ∣x−2∣≥b|x - 2| - b \geq 0 \implies |x - 2| \geq b
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi negatif olamaz.
2
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek mutlak değerli ifade için ortak bir aralık belirleyin.
b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki köklü ifadenin de eş zamanlı olarak tanımlı olması gerekir.
3
Verilen tanım kümesi iki ayrık aralığın birleşimi ([−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6]) olduğundan, b>0b > 0 olması gerektiğini tespit edin ve eşitsizliği iki durum halinde çözün.
Durum 1 (x−2≥0x - 2 \geq 0): b≤x−2≤a  ⟹  2+b≤x≤2+ab \leq x - 2 \leq a \implies 2 + b \leq x \leq 2 + a
Durum 2 (x−2<0x - 2 < 0): b≤−(x−2)≤a  ⟹  −a≤x−2≤−b  ⟹  2−a≤x≤2−bb \leq -(x - 2) \leq a \implies -a \leq x - 2 \leq -b \implies 2 - a \leq x \leq 2 - b
Birleşik Çözüm Kümesi: [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a]
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif iki sınır arasında kalması durumunda, ifadenin kendisi de bu sınırların pozitif ve negatif değerleri arasında yer alır.
4
Bulunan genel çözüm kümesini soruda verilen [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] tanım kümesi ile eşleştirerek aa ve bb değerlerini hesaplayın.
2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4
2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1
2+b=3  ⟹  b=12 + b = 3 \implies b = 1
2+a=6  ⟹  a=42 + a = 6 \implies a = 4
Buradan a=4a = 4 ve b=1b = 1 olarak elde edilir.
Elde edilen genel aralık sınırlarının, verilen tanım kümesinin sınır değerleriyle birebir uyuşması zorunludur.
5
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5
Soruda bizden istenen a+ba + b toplamıdır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerin tanımlı olma şartı ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerinin analizi
Soru 7Soru →
Gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesinde tanımlı
f(x)=x−1+35−xf(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{3}{5 - x}
fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların kümesi AA olarak belirleniyor.

Buna göre, AA kümesinin en küçük 5 elemanının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

En küçük 5 elemanın toplamı 16'dır.
Fonksiyonun tanımlı olması için kareköklü ifadenin içi negatif olmamalıdır (x≥1x \geq 1) ve rasyonel ifadenin paydası sıfırdan farklı olmalıdır (x≠5x \neq 5). Bu iki koşulun kesişimiyle tanım kümesindeki en küçük 5 tam sayı 1, 2, 3, 4 ve 6 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı ise 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1
Gerçek sayılar kümesinde çift dereceden köklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifade sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Rasyonel ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
5−x≠0  ⟹  x≠55 - x \neq 0 \implies x \neq 5
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olamaz, aksi takdirde ifade tanımsız olur.
3
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
A={1,2,3,4,6,7,8,… }A = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, \dots\}
Bulunan iki koşulu (x≥1x \geq 1 ve x≠5x \neq 5) sağlayan tam sayıları belirlemek gerekir.
4
En küçük 5 tam sayının toplamını hesaplama
1+2+3+4+6=161 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
İstenen en küçük 5 elemanın toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmak için kareköklü ifadelerin içinin negatif olmaması ve rasyonel ifadelerin paydalarının sıfır olmaması koşulları birlikte incelenir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi olmak üzere, f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tanımlı f(x)=1x2−ax+4f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}} bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı (−4,4)(-4, 4) açık aralığıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen bağıntının R\mathbb{R}'den R\mathbb{R}'ye bir fonksiyon belirtmesi için her x∈Rx \in \mathbb{R} için tanımlı olması gerekir. Bu da paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı ve sıfırdan farklı olması, yani x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması demektir. Baş katsayısı pozitif olan bu ifadenin daima pozitif olması için diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Δ=a2−16<0\Delta = a^2 - 16 < 0 eşitsizliğinden aa sayısının (−4,4)(-4, 4) açık aralığ��nda olması gerektiği bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.
Verilen bağıntının R\mathbb{R} üzerinde tanımlı bir fonksiyon belirtmesi için paydadaki kareköklü ifadenin içi daima pozitif olmalıdır. Bu durum diskriminantın sıfırdan küçük olmasıyla (a2−16<0a^2 - 16 < 0) mümkündür ve buradan a∈(−4,4)a \in (-4, 4) elde edilir. Bu sebeple ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon olma şartını analiz etme
Tanım kümesi R\mathbb{R} ve değer kümesi R\mathbb{R} olan bir ff bağıntısının fonksiyon belirtebilmesi için her x∈Rx \in \mathbb{R} için f(x)f(x) değerinin tanımlı ve bir gerçel sayı olması gerekir.
Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde eşleşmeyen hiçbir eleman kalmamalıdır.
2
Tanımlılık şart��nı cebirsel olarak ifade etme
f(x)=1x2−ax+4f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}} ifadesinin tanımlı olması için x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 olmalıdır.
Çift dereceden köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.
3
Eşitsizliğin her xx için sağlanma koşulunu (daima pozitiflik) uygulama
x2−ax+4>0x^2 - ax + 4 > 0 ifadesinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması için baş katsayısı 1>01 > 0 olduğundan diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
Parabolün xx eksenini kesmemesi ve daima eksenin üzerinde kalması gerekir.
4
Diskriminantı hesaplama ve aa değer aralığını bulma
Δ=(−a)2−4⋅1⋅4=a2−16<0  ⟹  a2<16  ⟹  −4<a<4\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 < 0 \implies a^2 < 16 \implies -4 < a < 4. En geniş değer aralığı (−4,4)(-4, 4) açık aralığıdır.
Eşitsizlik çözülerek parametrenin alabileceği değer sınırları belirlenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyon tanımlılık şartları ve gerçel sayılarda tanımlı en geniş küme
Soru 9Soru →
Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=12−3x+4x−1f(x) = \sqrt{12 - 3x} + \frac{4}{x - 1}
fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

f fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar rasyonel ifadeyi tanımsız yapan 1 hariç, köklü ifadenin tanım aralığı olan 4 ve 4'ten küçük pozitif tam sayılardır. Bunlar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi
x≤4x \leq 4
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içi negatif olmamalıdır.
2
Rasyonel ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi
x≠1x \neq 1
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.
3
Koşulları sağlayan pozitif tam sayıların toplanması
2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
x≤4x \leq 4 ve x≠1x \neq 1 koşullarını aynı anda sağlayan pozitif tam sayılar 22, 33 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların en geniş tanım kümesi bulunurken köklü ifadelerin çift derece şartı ile rasyonel ifadelerin sıfırdan farklı payda şartının ortak kesişimi alınır.
Soru 10Soru →

N\mathbb{N} doğal sayılar, Z\mathbb{Z} tam sayılar ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi olmak üzere,

I. f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=x3−xx2+1f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}
II. g:R∖{1}→Rg: \mathbb{R} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x+1∣x∣−1g(x) = \frac{x + 1}{|x| - 1}
III. h:N→Nh: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, h(x)=x2−4x+4+1h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + 1

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, yukarıda verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Sadece üçüncü öncüldeki bağıntı, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki benzersiz elemanlara eşler. Kareköklü ifade mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında tüm doğal sayı girdileri için sonuç da bir doğal sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncüldeki bağıntının incelenmesi
x=2∈Zx = 2 \in \mathbb{Z} seçildiğinde f(2)=23−222+1=65∉Zf(2) = \frac{2^3 - 2}{2^2 + 1} = \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z} elde edilir.
Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde (tam sayılarda) bulunmalıdır. Ancak x=2x=2 için elde edilen değer tam sayı olmadığından bu bağıntı fonksiyon olamaz.
2
İkinci öncüldeki bağıntının incelenmesi
Paydayı sıfır yapan değerler ∣x∣−1=0  ⟹  x=1|x| - 1 = 0 \implies x = 1 veya x=−1x = -1 olarak bulunur.
Tanım kümesi olan R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} kümesinde x=−1x = -1 elemanı yer almaktadır. Bu değer için fonksiyon tanımsız olacağından tanım kümesindeki bir eleman açıkta kalır ve bağıntı fonksiyon belirtmez.
3
Üçüncü öncüldeki bağıntının incelenmesi
h(x)=(x−2)2+1=∣x−2∣+1h(x) = \sqrt{(x-2)^2} + 1 = |x - 2| + 1 elde edilir. Her x∈Nx \in \mathbb{N} için ∣x−2∣+1∈N|x - 2| + 1 \in \mathbb{N} olur.
Kareköklü çift dereceli terim mutlak değer içinde dışarı çıkar. Her doğal sayı girdisi için bu ifade tanımlıdır ve sonuç daima pozitif tam sayı olacağından değer kümesine (doğal sayılara) aittir. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Fonksiyon tanımı, tanım ve değer kümelerinin sınırları ile tanımsızlık durumları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=a−∣x−3∣x2−5x−14f(x) = \frac{\sqrt{a - |x - 3|}}{x^2 - 5x - 14}

fonksiyonunun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmaktadır.

Buna göre, aa tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmasını sağlayan aa tam sayısı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki tam sayıların adedini tam olarak 8 yapar. a=4a=4 için kök içi koşulundan elde edilen [−1,7][-1, 7] aralığındaki 9 tam sayıdan, paydayı sıfır yapan x=7x=7 değeri çıkarıldığında geriye tam olarak 8 tam sayı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanımlı olması için gerekli olan koşulları belirlemek.
a−∣x−3∣≥0a - |x - 3| \geq 0 ve x2−5x−14≠0x^2 - 5x - 14 \neq 0 olmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.
2
Paydayı sıfır yapan ve tanım kümesinden çıkarılması gereken xx değerlerini bulmak.
x=7x = 7 ve x=−2x = -2 değerleri tanımsızlık yaratır.
x2−5x−14=0x^2 - 5x - 14 = 0 denkleminin çarpanlarına ayrılmış hali (x−7)(x+2)=0(x-7)(x+2) = 0 şeklindedir.
3
Kök içerisindeki eşitsizliği çözerek tanım aralığını aa parametresine bağlı olarak yazmak.
3−a≤x≤3+a3 - a \leq x \leq 3 + a kapalı aralığı elde edilir.
∣x−3∣≤a|x-3| \leq a eşitsizliği −a≤x−3≤a-a \leq x-3 \leq a şeklinde açılır ve her tarafa 3 eklenir.
4
Farklı aa tam sayı değerleri için tanımsızlık noktalarını da hesaba katarak tanım kümesindeki tam sayı adedini analiz etmek.
a=4a = 4 için aralık [−1,7][-1, 7] olup tanımsız yapan 77 çıkarıldığında geriye 8 tam sayı kalır.
a=3a=3 için aralık [0,6][0, 6] olur ve bu aralıkta tanımsız yapan değer olmadığından 7 tam sayı bulunur. a=5a=5 için aralık [−2,8][-2, 8] olur ve tanımsız yapan −2-2 ile 77 çıkarıldığında 9 tam sayı kalır. Dolayısıyla tam olarak 8 tam sayı sağlayan değer a=4a = 4'tür.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesinin en geniş KK alt kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)=5−∣x−1∣∣x−1∣−2f(x) = \sqrt{\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2}}
kuralıyla veriliyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun tanım kümesi olan KK kümesindeki tüm tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bu şartlar 5−∣x−1∣∣x−1∣−2≥0\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0 eşitsizliğini doğurur. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi [−4,−1)∪(3,6][-4, -1) \cup (3, 6] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla −4,−3,−2,4,5,6-4, -3, -2, 4, 5, 6 olup, bu sayıların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Çift dereceden köklü ifadenin tanım şartını belirleme
5−∣x−1∣∣x−1∣−2≥0\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0
Kökün derecesi çift (2) olduğundan, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
Paydanın sıfır olmama şartını belirleme
∣x−1∣−2≠0  ⟹  ∣x−1∣≠2  ⟹  x≠3 ve x≠−1|x - 1| - 2 \neq 0 \implies |x - 1| \neq 2 \implies x \neq 3 \text{ ve } x \neq -1
Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.
3
Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği basitleştirme ve çözme
u=∣x−1∣≥0  ⟹  5−uu−2≥0  ⟹  2<u≤5u = |x - 1| \geq 0 \implies \frac{5 - u}{u - 2} \geq 0 \implies 2 < u \leq 5
Mutlak değerli ifadeye uu diyerek rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleriz. Paydayı sıfır yapan u=2u = 2 değeri çözüme dahil edilemezken, payı sıfır yapan u=5u = 5 değeri dahil edilebilir.
4
Bulunan aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak çözme
2<∣x−1∣≤5  ⟹  3<x≤6 veya −4≤x<−12 < |x - 1| \leq 5 \implies 3 < x \leq 6 \text{ veya } -4 \leq x < -1
Mutlak değerli eşitsizlik 2<∣x−1∣≤52 < |x - 1| \leq 5 şeklinde iki parçaya ayrılarak çözülür. Buradan tanım kümesi K=[−4,−1)∪(3,6]K = [-4, -1) \cup (3, 6] olarak elde edilir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplama
{−4,−3,−2,4,5,6}  ⟹  (−4)+(−3)+(−2)+4+5+6=6\{-4, -3, -2, 4, 5, 6\} \implies (-4) + (-3) + (-2) + 4 + 5 + 6 = 6
Elde edilen aralıklardaki tam sayılar tek tek belirlenir ve toplanarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Köklü ve Rasyonel İfadelerin Tanım Kümeleri ile Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü
Soru 13Soru →
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
f(x)=a−∣x−3∣f(x) = \sqrt{a - |x - 3|}
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki tüm tam sayıların toplamı 3333'tür.

Buna g��re, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru yanıt 5 değeridir.
Doğru yanıt olan 5 değeri, çift dereceli kök fonksiyonunun tanımlı olması için gereken a−∣x−3∣≥0a - |x - 3| \geq 0 şartını sağlar. Bu eşitsizlikten elde edilen 3−a≤x≤3+a3-a \leq x \leq 3+a kapalı aralığında 33 merkezli simetrik tam sayılar yer alır. Terim sayısı ile ortanca terimin çarpımından elde edilen 3(2a+1)=333(2a+1) = 33 denklemi çözüldüğünde a=5a = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanım kümesi ��artını belirleme
a−∣x−3∣≥0  ⟹  ∣x−3∣≤aa - |x - 3| \geq 0 \implies |x - 3| \leq a
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği çözerek xx'in tanım aralığını bulma
−a≤x−3≤a  ⟹  3−a≤x≤3+a-a \leq x - 3 \leq a \implies 3 - a \leq x \leq 3 + a
Mutlak değer eşitsizliği kuralı (∣u∣≤k  ⟹  −k≤u≤k|u| \leq k \implies -k \leq u \leq k) uygulanır ve eşitsizliğin her tarafına 3 eklenir.
3
Tanım aralığındaki tam sayıların adedini ve toplamını formüle etme
Terim sayısı: 2a+12a + 1, Terimler toplamı: 3×(2a+1)=6a+33 \times (2a + 1) = 6a + 3
3−a3-a ile 3+a3+a arasındaki tam sayılar 33 noktasına göre simetriktir. Terim sayısı (3+a)−(3−a)+1=2a+1(3+a) - (3-a) + 1 = 2a+1 olur. Ardışık ve simetrik dağılan sayıların toplamı, ortanca terim (33) ile terim sayısının çarpımıdır.
4
Toplamı verilen değere eşitleyerek aa'yı bulma
6a+3=33  ⟹  6a=30  ⟹  a=56a + 3 = 33 \implies 6a = 30 \implies a = 5
Soruda tam sayıların toplamı 33 olarak verildiğinden elde edilen denklem çözülerek aa pozitif tam sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Köklü ve mutlak değerli fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulma ve ardışık sayıların toplamı prensibini uygulama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| \le 3\} ve B = \{y \in \mathbb{R} : y \ge 0\} olmak üzere, f: A \rightarrow B bağıntısı f(x) = \sqrt{9 - x^2} kuralı ile tanımlanmıştır. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Tanımlanan bağıntı bir fonksiyon belirtmez.
Bağıntı bir fonksiyon değildir çünkü tanım kümesindeki 3'ten büyük elemanlar için kök içi negatif olur ve bu elemanların değer kümesinde bir karşılığı bulunmaz.

Adım Adım Çözüm

1
A tanım kümesini belirlemek için mutlak değerli eşitsizliği çözün.
A = [-1, 5] aralığıdır.
|x - 2| \le 3 eşitsizliği -3 \le x - 2 \le 3 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafına 2 eklendiğinde -1 \le x \le 5 elde edilir.
2
Fonksiyon kuralının tanımlı olabilmesi için gereken x değerlerini belirleyin.
x \in [-3, 3] olmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. 9 - x^2 \ge 0 eşitsizliğinden x^2 \le 9 elde edilir, bu da -3 \le x \le 3 demektir.
3
Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olup olmadığını değerlendirin.
(3, 5] aralığındaki elemanların görüntüsü yoktur.
Tanım kümesi A = [-1, 5] olduğundan, 3'ten büyük olan elemanlar (örneğin x = 4) için f(x) kuralı tanımsızdır. Değer kümesi olan B = [0, \infty) kümesinde bir görüntü elde edilemez.

Anahtar Kavram

Bir bağıntının fonksiyon belirtmesi için tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde tanımlı ve benzersiz bir görüntüsü bulunmalıdır.

Alternatif Yöntem

Bağıntının fonksiyon olmadığını göstermek için tek bir karşıt örnek (karşı örnek) yeterlidir. Tanım kümesi A = [-1, 5] olup x = 4 bu kümenin elemanıdır. Ancak f(4) = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7} gerçek sayı değildir ve değer kümesi B'de bulunmaz. Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığından bağıntı fonksiyon değildir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi veriliyor.

f:A→Zf: A \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere,

f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m}

kuralıyla verilen ff bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 3'tür.
Doğru yanıt, sağlayan mm değerlerinin toplamının 3 olduğunu belirten seçenektir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün değer kümesinde bulunması kuralından yola çıkılarak x=0x=0 için 12/m12/m ifadesinin tam sayı olması gerektiği ve tanımsızlık yapmayan mm değerlerinden yalnızca 22, 33 ve −2-2 tam sayılarının tanım kümesindeki tüm elemanlar için tam sayı görüntüler ürettiği gösterilmiştir. Bu değerlerin toplamı 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların değer kümesinde tanımlı olmasın�� inceleme
f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m} bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için AA kümesindeki her elemanın görüntüsü Z\mathbb{Z} (tam sayılar) kümesinin bir elemanı olmalıdır. x=0∈Ax = 0 \in A için f(0)=−12m∈Zf(0) = -\frac{12}{m} \in \mathbb{Z} olmalıdır. Bu durum, mm tam sayısının 1212 sayısının bir tam sayı böleni olmasını gerektirir.
Fonksiyonun her tanım kümesi elemanı için değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır.
2
1212 sayısının tam sayı bölenlerini listeleme ve tanımsızlık durumlarını filtreleme
m∈{−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}m \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir. x∈Ax \in A için x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} değerlerini alabilir. Dolayısıyla x2−m=0x^2 - m = 0 olmaması için m∉{0,1,4}m \notin \{0, 1, 4\} olmalıdır. Buradan m=1m = 1 ve m=4m = 4 değerleri elenir.
Paydanın sıfır olması durumunda fonksiyon tanımsız olacağından bu değerler çözüm kümesinden çıkarılır.
3
Kalan mm değerlerini her x∈Ax \in A için kontrol etme
Geriye kalan mm değerleri tek tek denenir:
- m=2m = 2 için: f(0)=−6f(0) = -6, f(±1)=−12f(\pm 1) = -12, f(±2)=6f(\pm 2) = 6 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=3m = 3 için: f(0)=−4f(0) = -4, f(±1)=−6f(\pm 1) = -6, f(±2)=12f(\pm 2) = 12 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=−2m = -2 için: f(0)=6f(0) = 6, f(±1)=4f(\pm 1) = 4, f(±2)=2f(\pm 2) = 2 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
Diğer aday tam sayılar denendiğinde en az bir x∈Ax \in A için görüntünün tam sayı olmadığı görülür (Örneğin m=−1m = -1 için f(±2)=12/5∉Zf(\pm 2) = 12/5 \notin \mathbb{Z}).
Her elemanın görüntüsünün değer kümesinin sınırları içinde (tam sayı) kaldığından emin olunur.
4
Koşulları sağlayan mm değerlerinin toplamını hesaplama
Koşulu sağlayan mm değerleri {2,3,−2}\{2, 3, -2\} olarak bulunur. Toplamları ise 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon olma şartı ve değer kümesi uyumluluğu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=25−x2+∣x−1∣−2f(x) = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{|x - 1| - 2}

fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı -3'tür.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi [−5,−1]∪[3,5][-5, -1] \cup [3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise -3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kareköklü ifadenin tanımlı olduğu aralığı bulmak.
−5≤x≤5-5 \le x \le 5
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
İkinci kareköklü ifadenin tanımlı olduğu aralığı bulmak.
x≥3x \ge 3 veya x≤−1x \le -1
Mutlak değerli ifadenin kök dışına çıkabilmesi için ∣x−1∣≥2|x - 1| \ge 2 eşitsizliği çözülür.
3
İki aralığın kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirlemek.
[−5,−1]∪[3,5][-5, -1] \cup [3, 5]
Fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleyip toplamak.
Toplam = −3-3
Belirlenen aralıklardaki tam sayılar −5,−4,−3,−2,−1,3,4,5-5, -4, -3, -2, -1, 3, 4, 5 olup toplamları −3-3 yapar.

Anahtar Kavram

Köklü ve mutlak değerli ifadelerin reel sayılardaki tanım kümelerinin bulunması ve kesiştirilmesi.
Soru 17Soru →

Tanımlı oldukları en geniş kümeler sırasıyla KK ve MM olan ff ve gg fonksiyonları

f(x)=6−∣x−2∣f(x) = \sqrt{6 - |x - 2|}
g(x)=x+2x2−x−6g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

kurallarıyla veriliyor.

Buna göre, K∖MK \setminus M kümesinin elemanı olan tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

K ve M kümelerinin farkı olan K∖MK \setminus M kümesindeki tam sayıların toplamı 11 değeridir.
Doğru sonuca ulaşmak için ff fonksiyonunun tanımlı olduğu [−4,8][-4, 8] aralığı ile gg fonksiyonunun tanımsız olduğu {−2,3}\{-2, 3\} noktaları bulunur. K∖MK \setminus M kümesi, KK kümesinde olup MM kümesinde olmayan elemanları yani tanımsızlık noktalarını içerdiğinden {−2,3}\{-2, 3\} kümesidir. Bu elemanların toplamı 11 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin koşulunu belirleme.
6−∣x−2∣≥0  ⟹  ∣x−2∣≤6  ⟹  −6≤x−2≤6  ⟹  −4≤x≤86 - |x - 2| \geq 0 \implies |x - 2| \leq 6 \implies -6 \leq x - 2 \leq 6 \implies -4 \leq x \leq 8, yani K=[−4,8]K = [-4, 8] kümesi elde edilir.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmama koşulunu belirleme.
x2−x−6≠0  ⟹  (x−3)(x+2)≠0  ⟹  x≠3x^2 - x - 6 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 2) \neq 0 \implies x \neq 3 ve x≠−2x \neq -2, yani M=R∖{−2,3}M = \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} kümesi elde edilir.
Rasyonel ifadelerin tanımlı olması için paydanın sıfırdan farklı olması gerekir.
3
K∖MK \setminus M kümesini bulma ve bu kümedeki tam sayıları belirleme.
K∖M=[−4,8]∖(R∖{−2,3})={−2,3}K \setminus M = [-4, 8] \setminus (\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}) = \{-2, 3\} kümesi elde edilir.
K∖MK \setminus M kümesi, KK kümesinde olup MM kümesinde olmayan elemanlardan oluşur.
4
K∖MK \setminus M kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama.
−2+3=1-2 + 3 = 1 bulunur.
Kümedeki tam sayılar −2-2 ve 33 olduğundan bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlerin en geniş tanım kümelerinin bulunması, rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin hariç tutulması, çift dereceli köklü ifadelerin içerisinin negatif olamaması ve küme farkı işlemi.
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=x2−2x−8∣x−1∣−4f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 2x - 8}}{|x - 1| - 4}
fonksiyonunun tanım kümesinde yer almayan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen tam sayıların toplamı 7'dir.
Doğru seçeneğe ulaşmak için hem kareköklü ifadenin tanımlı olma şartı hem de rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olma şartı birlikte değerlendirilmelidir. Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x2−2x−8≥0x^2 - 2x - 8 \ge 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≤−2x \le -2 veya x≥4x \ge 4 bulunur. Dolayısıyla, payın tanımsız olduğu aralık (−2,4)(-2, 4) açık aralığıdır. Paydanın sıfır olmaması için ise ∣x−1∣−4≠0|x - 1| - 4 \neq 0 yani ∣x−1∣≠4|x - 1| \neq 4 olmalıdır. Buradan x−1≠4⇒x≠5x - 1 \neq 4 \Rightarrow x \neq 5 ve x−1≠−4⇒x≠−3x - 1 \neq -4 \Rightarrow x \neq -3 elde edilir. Bu durumda tanım kümesinde yer almayan tam sayılar; payı tanımsız yapan (−2,4)(-2, 4) aralığındaki tam sayılar ile paydayı sıfır yapan −3-3 ve 55 değerleridir. Bu sayılar {−3,−1,0,1,2,3,5}\{-3, -1, 0, 1, 2, 3, 5\} kümesini oluşturur. Bu değerlerin toplamı ise (−3)+(−1)+0+1+2+3+5=7(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği belirlenir.
x2−2x−8≥0x^2 - 2x - 8 \ge 0
Çift dereceden köklü ifadelerin gerçel sayılarda tanımlı olması için içlerinin negatif olmaması gerekir.
2
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlara ayrılarak çözülür.
(x−4)(x+2)≥0⇒x≤−2(x - 4)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2 veya x≥4x \ge 4
Eşitsizliğin işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı belirlenir.
3
Kareköklü ifadenin tanımsız olduğu tam sayı değerleri bulunur.
−1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3
x∈(−2,4)x \in (-2, 4) açık aralığındaki tam sayılar fonksiyonun pay kısmını tanımsız yapar.
4
Rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler belirlenir.
∣x−1∣−4=0⇒∣x−1∣=4⇒x−1=4|x - 1| - 4 = 0 \Rightarrow |x - 1| = 4 \Rightarrow x - 1 = 4 veya x−1=−4⇒x=5x - 1 = -4 \Rightarrow x = 5 veya x=−3x = -3
Paydanın sıfır olması rasyonel ifadeyi tanımsız yapacağından bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
5
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan tüm tam sayı değerleri toplanır.
(−3)+(−1)+0+1+2+3+5=7(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7
Hem payı tanımsız yapan hem de paydayı sıfır yapan tüm tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonun Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı f(x)=9−x2+1x2−1f(x) = \sqrt{9 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamının 00 olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 0'dır, dolayısıyla ifade doğrudur.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi [−3,−1)∪(1,3][-3, -1) \cup (1, 3] olarak bulunur ve bu aralıktaki tam sayıların (−3,−2,2,3-3, -2, 2, 3) toplamı gerçekten de 00 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan 9−x2\sqrt{9 - x^2} ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.
9−x2≥0  ⟹  x2≤9  ⟹  −3≤x≤39 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 9 \implies -3 \leq x \leq 3
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci terim olan 1x2−1\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} ifadesinin tanımlı olma şartını belirlemek.
x2−1>0  ⟹  x2>1  ⟹  x>1x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1 veya x<−1x < -1
Köklü ifadenin çift dereceli olması nedeniyle kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır; ancak ifade paydada yer aldığı için payda sıfır olamaz, bu yüzden kök içi kesinlikle sıfırdan büyük olmalıdır.
3
İki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini bularak fonksiyonun en geniş tanım kümesini elde etmek.
Tanım Kümesi = [−3,−1)∪(1,3][-3, -1) \cup (1, 3]
Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: −3,−2,2,3-3, -2, 2, 3. Toplam: (−3)+(−2)+2+3=0(-3) + (-2) + 2 + 3 = 0.
Bulunan tanım aralıklarındaki tam sayı değerleri toplanarak iddiadaki değer ile karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunurken rasyonel ifadelerin paydasını sıfır yapan değerler kapsam dışı bırakılır ve çift dereceden köklü ifadelerin içerisindeki değerlerin sıfırdan büyük veya eşit olması sağlanır.
Soru 20Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−4x+4f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4}
g(x)=x2−10x+25g(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 25}
biçiminde veriliyor.
Buna göre,
h(x)=x+5f(x)+g(x)−9h(x) = \frac{x + 5}{f(x) + g(x) - 9}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer almayan gerçel sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

En geniş tanım kümesinde yer almayan gerçel sayıların toplamı 7'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde yer almayan değerler, rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerlerdir. Kareköklü terimler mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında elde edilen ∣x−2∣+∣x−5∣=9|x-2| + |x-5| = 9 denkleminin gerçel kökleri x=8x = 8 ve x=−1x = -1 olup toplamları 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içindeki tam kare ifadeleri belirleyip dışarı mutlak değerle çıkarma
f(x)=∣x−2∣f(x) = |x - 2| ve g(x)=∣x−5∣g(x) = |x - 5|
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değer içinde yazılması gerektiğini uygulamak için
2
Rasyonel ifadenin paydasını sıfıra eşitleme
∣x−2∣+∣x−5∣=9|x - 2| + |x - 5| = 9
Bir rasyonel fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerin paydayı sıfır yapan noktalar olmasından dolayı
3
Mutlak değerli denklemi kritik noktalara göre aralıklara ayırarak çözme
x=8x = 8 ve x=−1x = -1
Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği x=2x = 2 ve x=5x = 5 noktalarına göre denklemin köklerini bulmak için
4
Elde edilen köklerin toplamını hesaplama
8+(−1)=78 + (-1) = 7
Tanım kümesinde yer almayan değerlerin toplamı istendiği için

Anahtar Kavram

Rasyonel ve Köklü Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
Sayfa 1 / 2Sonraki
Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin