[2, \infty) \rightarrow [3, \infty) f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonu bire bir ve örten olduğ… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

[2, \infty) \rightarrow [3, \infty)

f(x) = x^2 - 4x + 7

fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, bu fonksiyonun tersi olan $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

2 + \sqrt{x-3}

Verilen fonksiyonun tanım kümesi

[2, \infty)

olduğu için

x \ge 2

olup

x - 2 \ge 0

koşulu sağlanır. Eşitliğin her iki tarafının karekökü alındığında

\sqrt{y-3} = x-2

elde edilir. Buradan

x

yalnız bırakılarak

2 + \sqrt{x-3}

ifadesine ulaşılır.

Fonksiyonun kuralını tam kare şeklinde ifade edelim.

f(x) = x^2 - 4x + 4 + 3 = (x-2)^2 + 3

İkinci dereceden fonksiyonlarda de��işkeni yalnız bırakabilmek için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.

y = f(x)

eşitliğini kurup

x

'i yalnız bırakmaya çalışalım.

y = (x-2)^2 + 3 \implies y - 3 = (x-2)^2

Ters fonksiyonu bulmak için bağımlı ve bağımsız değişkenlerin yerini değiştirmek üzere

x

y

cinsinden ifade etmeliyiz.

Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alalım.

\sqrt{y - 3} = |x - 2|

Kareli bir ifadenin kökü alınırken mutlak değer sembolü kullanılarak ifadenin işareti kontrol edilmelidir.

Tanım kümesi bilgisini kullanarak mutlak değerli ifadeyi dışarı çıkaralım.

x \ge 2 \implies x - 2 \ge 0 \implies |x - 2| = x - 2 \implies \sqrt{y - 3} = x - 2

Fonksiyonun tanım kümesi

[2, \infty)

olarak verildiğinden

x - 2

ifadesi negatif olamaz ve mutlak değer dışına aynen çıkar.

x

'i yalnız bırakıp değişkenlerin yerini değiştirelim.

x = 2 + \sqrt{y - 3} \implies f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}

Yalnız bırakılan

x

değişkeni ters fonksiyonu temsil eder; son adımda

y

yerine

x

yazarak genel gösterimi elde ederiz.

İkinci dereceden fonksiyonlarda uygun tanım aralığında ters fonksiyon bulma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru