Bire bir ve örten f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\} fon… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bire bir ve örten

f: \mathbb{R} \setminus \{a\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{b\}

fonksiyonu

f(x) = \frac{4x + 5}{x - 3}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

Cevap: 7

Doğru cevap 7'dir.

Fonksiyonu tanımsız yapan

x = 3

değeri tanım kümesinden çıkarılan

a

değeridir. Fonksiyonun tersi olan

f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4}

ifadesini tanımsız yapan

x = 4

değeri ise değer kümesinden çıkarılan

b

değeridir. Buradan

a + b = 3 + 4 = 7

bulunur.

Fonksiyonu tanımsız yapan

x

değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.

x - 3 = 0 \implies x = 3

ve dolayısıyla

a = 3

bulunur.

Fonksiyonun tanım kümesinde yer alamayacak değer, paydayı sıfır yapan değerdir.

Verilen

f(x)

fonksiyonunun tersini buluruz.

f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 4}

elde edilir.

f(x) = \frac{px+q}{rx+s}

tipindeki fonksiyonların tersi

f^{-1}(x) = \frac{-sx+q}{rx-p}

kuralı ile bulunur.

Ters fonksiyonu tanımsız yapan

x

değerini bulmak için paydayı sıfıra eşitleriz.

x - 4 = 0 \implies x = 4

ve dolayısıyla

b = 4

bulunur.

Ters fonksiyonun tanım kümesi, orijinal fonksiyonun değer kümesidir. Bu yüzden

f^{-1}(x)

fonksiyonunu tanımsız yapan değer değer kümesinden çıkarılmalıdır.

Bulunan

a

b

değerlerini toplarız.

a + b = 3 + 4 = 7

bulunur.

Bizden istenen

a + b

toplamını elde etmek için.

Bir rasyonel fonksiyonun tersinin var olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin sınırlandırılması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru