Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f doğrusal fonksiyon, g sabit fonksiyon ve h birim fonksiyondur. Her x gerçek sayısı için, f(x + g(x)) = h(3x) + f(2)\neşitliği sağlanmaktadır. f(h(1)) = g(5) + 5 olduğuna göre, (f \circ g)(1) + (g \circ h)(2) + (h \circ f)(3) toplamının değeri kaçtır?

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f doğrusal fonksiyon, g sabit fonksiyon ve h birim … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x + g(x)) = h(3x) + f(2)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(h(1)) = g(5) + 5

olduğuna göre,

(f \circ g)(1) + (g \circ h)(2) + (h \circ f)(3)

toplamının değeri kaçtır?

A
17
B
13
25Cevap
D
29
E
1

Cevap

İstenen toplamın değeri 25 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon tanımları sırasıyla uygulandığında doğrusal fonksiyon

f(x) = 3x + 4

, sabit fonksiyon

g(x) = 2

ve birim fonksiyon

h(x) = x

olarak elde edilir. Bu fonksiyonlar altında istenen bileşke değerleri sırasıyla 10, 2 ve 13 olup toplamları 25 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

Birim (

h

) ve sabit (

g

) fonksiyon tanımlarını yazıp birinci eşitlikte yerlerine koymak.

h(x) = x

olduğundan

h(3x) = 3x

olur.

g(x) = c

(sabit) olsun.

f(x) = ax + b

doğrusal fonksiyon olmak üzere birinci eşitlik:

f(x + c) = 3x + f(2)

şekline gelir.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini belirlemek.

Elde edilen eşitlikten doğrusal fonksiyonun katsayısını (

a

) ve sabit fonksiyonun değerini (

c

) bulmak.

a(x+c) + b = 3x + (2a + b) \implies ax + ac + b = 3x + 2a + b

. Buradan

a = 3

ac = 2a \implies 3c = 6 \implies c = 2

bulunur. Dolayısıyla

g(x) = 2

olur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği kuralını kullanarak katsayıları eşitlemek.

İkinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun sabit terimini (

b

) bulmak.

f(h(1)) = g(5) + 5 \implies f(1) = 2 + 5 = 7

olur.

f(x) = 3x + b

olduğundan

f(1) = 3(1) + b = 3 + b = 7 \implies b = 4

bulunur. Buradan

f(x) = 3x + 4

elde edilir.

Birim ve sabit fonksiyonların değerlerini yerine yazarak bilinmeyen sabit terimi hesaplamak.

İstenen bileşke fonksiyon değerlerini hesaplayıp toplamak.

(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 3(2) + 4 = 10

(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(2) = 2

(h \circ f)(3) = h(f(3)) = f(3) = 3(3) + 4 = 13

. Toplam:

10 + 2 + 13 = 25

bulunur.

Bileşke fonksiyon kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları, özellikleri ve cebirsel olarak modellenmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru