Gerçel sayılar kümesinin en geniş K alt kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu f(x) = \sqrt{\f… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinin en geniş

K

alt kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = \sqrt{\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2}}

kuralıyla veriliyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun tanım kümesi olan

K

kümesindeki tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

Tam sayıların toplamı 6'dır.

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bu şartlar

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

eşitsizliğini doğurur. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi

[-4, -1) \cup (3, 6]

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla

-4, -3, -2, 4, 5, 6

olup, bu sayıların toplamı 6'dır.

Çift dereceden köklü ifadenin tanım şartını belirleme

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

Kökün derecesi çift (2) olduğundan, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

Paydanın sıfır olmama şartını belirleme

|x - 1| - 2 \neq 0 \implies |x - 1| \neq 2 \implies x \neq 3 \text{ ve } x \neq -1

Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.

Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği basitleştirme ve çözme

u = |x - 1| \geq 0 \implies \frac{5 - u}{u - 2} \geq 0 \implies 2 < u \leq 5

Mutlak değerli ifadeye

u

diyerek rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleriz. Paydayı sıfır yapan

u = 2

değeri çözüme dahil edilemezken, payı sıfır yapan

u = 5

değeri dahil edilebilir.

Bulunan aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak çözme

2 < |x - 1| \leq 5 \implies 3 < x \leq 6 \text{ veya } -4 \leq x < -1

Mutlak değerli eşitsizlik

2 < |x - 1| \leq 5

şeklinde iki parçaya ayrılarak çözülür. Buradan tanım kümesi

K = [-4, -1) \cup (3, 6]

olarak elde edilir.

Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplama

\{-4, -3, -2, 4, 5, 6\} \implies (-4) + (-3) + (-2) + 4 + 5 + 6 = 6

Elde edilen aralıklardaki tam sayılar tek tek belirlenir ve toplanarak sonuç bulunur.

Köklü ve Rasyonel İfadelerin Tanım Kümeleri ile Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü

Soru