Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi veriliyor.

f:A→Zf: A \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere,

f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m}

kuralıyla verilen ff bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. 3Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 3'tür.
Doğru yanıt, sağlayan mm değerlerinin toplamının 3 olduğunu belirten seçenektir. Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün değer kümesinde bulunması kuralından yola çıkılarak x=0x=0 için 12/m12/m ifadesinin tam sayı olması gerektiği ve tanımsızlık yapmayan mm değerlerinden yalnızca 22, 33 ve −2-2 tam sayılarının tanım kümesindeki tüm elemanlar için tam sayı görüntüler ürettiği gösterilmiştir. Bu değerlerin toplamı 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesindeki elemanların değer kümesinde tanımlı olmasın�� inceleme
f(x)=12x2−mf(x) = \frac{12}{x^2 - m} bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için AA kümesindeki her elemanın görüntüsü Z\mathbb{Z} (tam sayılar) kümesinin bir elemanı olmalıdır. x=0∈Ax = 0 \in A için f(0)=−12m∈Zf(0) = -\frac{12}{m} \in \mathbb{Z} olmalıdır. Bu durum, mm tam sayısının 1212 sayısının bir tam sayı böleni olmasını gerektirir.
Fonksiyonun her tanım kümesi elemanı için değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır.
2
1212 sayısının tam sayı bölenlerini listeleme ve tanımsızlık durumlarını filtreleme
m∈{−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}m \in \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir. x∈Ax \in A için x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} değerlerini alabilir. Dolayısıyla x2−m=0x^2 - m = 0 olmaması için m∉{0,1,4}m \notin \{0, 1, 4\} olmalıdır. Buradan m=1m = 1 ve m=4m = 4 değerleri elenir.
Paydanın sıfır olması durumunda fonksiyon tanımsız olacağından bu değerler çözüm kümesinden çıkarılır.
3
Kalan mm değerlerini her x∈Ax \in A için kontrol etme
Geriye kalan mm değerleri tek tek denenir:
- m=2m = 2 için: f(0)=−6f(0) = -6, f(±1)=−12f(\pm 1) = -12, f(±2)=6f(\pm 2) = 6 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=3m = 3 için: f(0)=−4f(0) = -4, f(±1)=−6f(\pm 1) = -6, f(±2)=12f(\pm 2) = 12 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
- m=−2m = -2 için: f(0)=6f(0) = 6, f(±1)=4f(\pm 1) = 4, f(±2)=2f(\pm 2) = 2 (Tümü tam sayıdır, sağlar.)
Diğer aday tam sayılar denendiğinde en az bir x∈Ax \in A için görüntünün tam sayı olmadığı görülür (Örneğin m=−1m = -1 için f(±2)=12/5∉Zf(\pm 2) = 12/5 \notin \mathbb{Z}).
Her elemanın görüntüsünün değer kümesinin sınırları içinde (tam sayı) kaldığından emin olunur.
4
Koşulları sağlayan mm değerlerinin toplamını hesaplama
Koşulu sağlayan mm değerleri {2,3,−2}\{2, 3, -2\} olarak bulunur. Toplamları ise 2+3+(−2)=32 + 3 + (-2) = 3 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyon olma şartı ve değer kümesi uyumluluğu
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

Bu konudan daha fazla soru