Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

Bir sanat galerisinde sergilenecek 99 farklı tablodan 44'ü A ressamına, 55'i B ressamına aittir. Bu galeride yan yana bulunan 33 sergi standına, her iki ressamın da en az birer tablosu yer alacak şekilde 33 tablo seçilerek yerleştirilecektir.

Tabloların stantlardaki dizilim sırası önemsiz olduğuna göre, bu sergileme için tablolar kaç farklı şekilde seçilebilir?

  1. A
    8484
  2. B
    100100
  3. 7070Cevap
  4. D
    140140
  5. E
    420420

Cevap

Her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması koşuluyla 7070 farklı seçim yapılabilir.
Seçilecek 33 tablonun her iki ressamdan da en az birer adet içermesi koşulu, (1 A, 2 B) veya (2 A, 1 B) tablolarının seçilmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon hesabı sırasıyla (41)×(52)=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 40 ve (42)×(51)=30\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 30 olup, toplamları 7070 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan durumları belirleme
Toplam 33 tablo seçilecektir ve her iki ressamın da en az birer tablosu bulunmalıdır. Bu durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir: 1) A ressamından 11 ve B ressamından 22 tablo seçilmesi, 2) A ressamından 22 ve B ressamından 11 tablo seçilmesi.
Soruda belirtilen 'her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması' kısıtlamasını analiz etmek için.
2
Birinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 11 tablo (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde, B ressamından 22 tablo ise (52)=5×42×1=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 4×10=404 \times 10 = 40 farklı şekilde gerçekleşir.
Birinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
3
İkinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 22 tablo (42)=4×32×1=6\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 farklı şekilde, B ressamından 11 tablo ise (51)=5\binom{5}{1} = 5 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 6×5=306 \times 5 = 30 farklı şekilde gerçekleşir.
İkinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
4
Durumları toplama
Bu iki durum ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır: 40+30=7040 + 30 = 70 farklı seçim yapılabilir.
Oluşturulabilecek tüm geçerli sergileme gruplarının toplam sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru