Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

Bir üniversite öğrencisi, dönemlik ders programını oluştururken A ve B seçmeli ders gruplarından toplam 44 ders seçecektir. A grubunda 55 farklı ders, B grubunda ise 44 farklı ders bulunmaktadır. Bu öğrenci her iki gruptan da en az birer ders seçmek zorunda olduğuna göre, ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

  1. A
    126
  2. 120Cevap
  3. C
    39
  4. D
    420
  5. E
    2880

Cevap

Ders seçimi 120 farklı şekilde yapılabilir.
Soruda her iki gruptan en az birer ders seçilmesi koşulu bulunduğundan, olası tüm seçim durumları (1 A dersi ve 3 B dersi), (2 A dersi ve 2 B dersi) ile (3 A dersi ve 1 B dersi) şeklinde üç ayrık gruba ayrılır. Her bir durum için bağımsız seçimler kombinasyon yöntemiyle hesaplanıp çarpılır: sırasıyla 20, 60 ve 40 farklı seçim elde edilir. Bu durumların toplamı olan 120 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun ders dağılım senaryolarını belirleme.
Toplam 4 ders seçilecektir. A grubundan xx ve B grubundan yy ders seçilmek üzere x+y=4x+y=4 olmalıdır. Her iki gruptan da en az bir ders seçileceğinden olası (x,y)(x, y) ikilileri: (1,3)(1, 3), (2,2)(2, 2) ve (3,1)(3, 1) şeklindedir.
Her iki gruptan en az bir ders seçilmesi koşulunu sağlayan tüm ayrık durumları tespit etmek için.
2
Her bir olası senaryo için kombinasyon değerlerini hesaplama.
1. senaryo (1 ders A'dan, 3 ders B'den): (51)×(43)=5×4=20\binom{5}{1} \times \binom{4}{3} = 5 \times 4 = 20 farklı seçim.
2. senaryo (2 ders A'dan, 2 ders B'den): (52)×(42)=10×6=60\binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 10 \times 6 = 60 farklı seçim.
3. senaryo (3 ders A'dan, 1 ders B'den): (53)×(41)=10×4=40\binom{5}{3} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı seçim.
Belirlenen bağımsız senaryoların her biri için kaç farklı grup oluşturulabileceğini bulmak için.
3
Elde edilen ayrık durumların sonuçlarını toplama.
20+60+40=12020 + 60 + 40 = 120.
Birbirinden bağımsız ayrık durumların toplam seçim sayısını elde etmek amacıyla toplama prensibini uygulamak için.

Anahtar Kavram

Gruplardan en az bir eleman seçme koşulu içeren kombinasyon problemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru