Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi
Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=x2−2x−8∣x−1∣−4f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 2x - 8}}{|x - 1| - 4}
fonksiyonunun tanım kümesinde yer almayan tam sayıların toplamı kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    9
  3. 7Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

İstenen tam sayıların toplamı 7'dir.
Doğru seçeneğe ulaşmak için hem kareköklü ifadenin tanımlı olma şartı hem de rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olma şartı birlikte değerlendirilmelidir. Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x2−2x−8≥0x^2 - 2x - 8 \ge 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≤−2x \le -2 veya x≥4x \ge 4 bulunur. Dolayısıyla, payın tanımsız olduğu aralık (−2,4)(-2, 4) açık aralığıdır. Paydanın sıfır olmaması için ise ∣x−1∣−4≠0|x - 1| - 4 \neq 0 yani ∣x−1∣≠4|x - 1| \neq 4 olmalıdır. Buradan x−1≠4⇒x≠5x - 1 \neq 4 \Rightarrow x \neq 5 ve x−1≠−4⇒x≠−3x - 1 \neq -4 \Rightarrow x \neq -3 elde edilir. Bu durumda tanım kümesinde yer almayan tam sayılar; payı tanımsız yapan (−2,4)(-2, 4) aralığındaki tam sayılar ile paydayı sıfır yapan −3-3 ve 55 değerleridir. Bu sayılar {−3,−1,0,1,2,3,5}\{-3, -1, 0, 1, 2, 3, 5\} kümesini oluşturur. Bu değerlerin toplamı ise (−3)+(−1)+0+1+2+3+5=7(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği belirlenir.
x2−2x−8≥0x^2 - 2x - 8 \ge 0
Çift dereceden köklü ifadelerin gerçel sayılarda tanımlı olması için içlerinin negatif olmaması gerekir.
2
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlara ayrılarak çözülür.
(x−4)(x+2)≥0⇒x≤−2(x - 4)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2 veya x≥4x \ge 4
Eşitsizliğin işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı belirlenir.
3
Kareköklü ifadenin tanımsız olduğu tam sayı değerleri bulunur.
−1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3
x∈(−2,4)x \in (-2, 4) açık aralığındaki tam sayılar fonksiyonun pay kısmını tanımsız yapar.
4
Rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler belirlenir.
∣x−1∣−4=0⇒∣x−1∣=4⇒x−1=4|x - 1| - 4 = 0 \Rightarrow |x - 1| = 4 \Rightarrow x - 1 = 4 veya x−1=−4⇒x=5x - 1 = -4 \Rightarrow x = 5 veya x=−3x = -3
Paydanın sıfır olması rasyonel ifadeyi tanımsız yapacağından bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
5
Fonksiyonun tanım kümesinde bulunmayan tüm tam sayı değerleri toplanır.
(−3)+(−1)+0+1+2+3+5=7(-3) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 = 7
Hem payı tanımsız yapan hem de paydayı sıfır yapan tüm tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonun Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

Bu konudan daha fazla soru