Tanım kümesi A = [3, \infty) olan bire bir ve örten f: A \rightarrow B fonksiyonu f(x) = x… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Tanım kümesi

A = [3, \infty)

olan bire bir ve örten

f: A \rightarrow B

fonksiyonu

f(x) = x^2 - 6x + 14

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

Ters fonksiyon

3 + \sqrt{x - 5}

ifadesidir.

Fonksiyon

f(x) = (x-3)^2 + 5

biçiminde düzenlendikten sonra

y = (x-3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x-3)^2

elde edilir.

x \ge 3

kısıtlamasından dolayı her iki tarafın karekökü alındığında

x - 3 = \sqrt{y - 5}

eşitliğinden

x = 3 + \sqrt{y - 5}

bağıntısına ulaşılır. Değişkenler yer değiştirdiğinde ters fonksiyon formülü elde edilmiş olur.

Verilen

f(x)

fonksiyonunun ifadesini tam kare biçimine dönüştürelim.

f(x) = x^2 - 6x + 9 + 5 = (x - 3)^2 + 5

elde edilir.

İkinci dereceden fonksiyonların tersini alabilmek için değişkeni tam kare yardım��yla yalnız bırakmak gerekir.

f(x)

yerine

y

yazarak

x

değişkenini yalnız bırakma işlemlerine başlayalım.

y = (x - 3)^2 + 5 \implies y - 5 = (x - 3)^2

olur.

Eşitliğin sağındaki sabit sayıyı karşıya geçirerek kareli terimi yalnız bırakırız.

Her iki tarafın karekökünü alalım ve tanım kümesi kısıtlamasına göre işareti belirleyelim.

\sqrt{y - 5} = |x - 3|

olur. Tanım kümesi

A = [3, \infty)

olduğundan

x \ge 3 \implies x - 3 \ge 0

'dır. Bu yüzden

|x - 3| = x - 3

olarak çıkar. Buradan

\sqrt{y - 5} = x - 3 \implies x = 3 + \sqrt{y - 5}

elde edilir.

Karekök dışına çıkarma işleminde, tanım kümesi kısıtlaması mutlak değerin işaretini belirlemek için kullanılır.

x

ile

y

değişkenlerinin yerini değiştirerek ters fonksiyon formülünü yazalım.

f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 5}

olarak bulunur.

Fonksiyonun tersini bağımsız değişken

x

cinsinden ifade etmek için değişkenlerin isimlerini değiştiririz.

İkinci dereceden bir fonksiyonun tersini bulurken tanım kümesi sınırlarına dikkat edilerek tam kareye tamamlama yöntemi uygulanır.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru